Commutativiteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van de commutativiteit van optellen (3 + 2 = 2 + 3)

Het wiskundige begrip commutativiteit betekent intuïtief dat bij een bewerking die wordt toegepast op twee objecten, de volgorde van beide objecten gewijzigd mag worden zonder dat dit gevolgen heeft voor het eindresultaat. Het is een fundamentele eigenschap in veel takken van de wiskunde. Veel bewijzen gaan van deze eigenschap uit. Lange tijd werd de commutativiteit van eenvoudige operaties impliciet aangenomen en had de eigenschap geen naam, totdat de wiskundigen in de negentiende eeuw zijn begonnen de wiskunde formeel vast te leggen.

Algemeen gebruik[bewerken]

De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt.[1][2]

1. Een binaire operatie * op een verzameling S wordt commutatief genoemd als:

\forall x,y \in S: x * y = y * x \,
(Voor alle x en y uit de verzameling S geldt dat x maal y is gelijk aan y maal x.)
- Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt niet-commutatief genoemd

2. Men zegt dat x commuteert met y onder * als:

 x * y = y * x \,

3. Een binaire functie f:A×AB wordt commutatief genoemd als:

\forall x,y \in A: f (x, y) = f(y, x) \,

In het algemeen zegt men dat twee elementen x en y commuteren als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig paar elementen commuteert.

De centralisator van een element x bestaat uit de elementen van S die met x commuteren. Algemener: de centralisator van een deelverzameling D van S bevat de elementen van S die met alle elementen van D commuteren.

Voorbeelden[bewerken]

Commutatieve handelingen in het dagelijks leven[bewerken]

  • Schoenen aantrekken lijkt in die zin op een commutatieve operatie, omdat het niet uitmaakt of je eerst de linker- of eerst de rechterschoen aantrekt, het eindresultaat (beide schoenen aangetrokken) is identiek.
  • Bij het teruggeven van de wisselgeld maken we gebruik van de commutativiteit van optellen. Het maakt immers niet uit in welke volgorde we de munten teruggeven, de munten tellen ongeacht de volgorde, waarin ze worden teruggegeven, altijd op tot hetzelfde bedrag.

Commutatieve operaties in de wiskunde[bewerken]

De bekendste voorbeelden van binaire commutatieve operaties zijn optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen:

a + b = b + a (voorbeeld: 5 + 2 = 2 + 5)
a × b = b × a (voorbeeld: 5 × 6 = 6 × 5)

Andere commutatieve binaire operaties zijn o.a. optellen en vermenigvuldigen van reële en complexe getallen, optellen van vectoren en het inproduct.

Niet-commutatieve operaties in de wiskunde[bewerken]

Voorbeelden van operaties die niet commutatief zijn:

Commutator[bewerken]

De groepentheorie en de theorie der ringen hanteren elk een verschillend begrip van commutator, dit is een element dat intuïtief de mate aangeeft waarin x en y niet commuteren.

Commutatief diagram[bewerken]

In de categorietheorie is een diagram commutatief als elke twee samenstellingen van morfismen in het diagram die hetzelfde domein en doel hebben, gelijk zijn.

Voetnoten[bewerken]

  1. Krowne, p.1
  2. Weisstein, Commute, p.1

Zie ook[bewerken]