Inwendig product

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Meetkundige betekenis voor het geval van een scherpe hoek: inwendig product A.B = lengte van B × lengte van projectie van A op B

Het inwendig product (ook wel inproduct of scalair product genoemd) van twee vectoren is een begrip uit de lineaire algebra. Ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren \bold{u} en \bold{v} gedefinieerd als:

\bold{u} \cdot \bold{v} = |\bold{u}| |\bold{v}| \cos \theta

waarin \theta de hoek tussen de vectoren is en  |\bold{u}| en |\bold{v}| respectievelijk de normen van de vectoren \bold{u} en \bold{v} zijn. Het scalair product van de vectoren is dus, zoals de naam al aangeeft, een scalair en geen vector.

Men noteert het inproduct ook als:

\bold{u} \cdot \bold{v} = (\bold{u},\bold{v}) = \langle \bold{u},\bold{v}\rangle = \langle \bold{u}|\bold{v}\rangle \!

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren \bold{u} en \bold{v} elementen zijn van de \mathbb{R}^n, de n-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

\bold{u}=(u_1, u_2, ... , u_n)

en

\bold{v}=(v_1, v_2, ... , v_n).

dan kan het inwendig product vastgelegd worden als:

\, \bold{u} \cdot \bold{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + ... + u_n v_n = \sum^{n}_{i=1} u_i v_i .

Deze vorm van het inwendig product heet het standaardinproduct; het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte.

Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefiniëerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.

Eigenschappen[bewerken]

  • De vectoren \bold{u} en \bold{v} staan loodrecht op elkaar als en slechts als hun inproduct gelijk aan 0.
  • Het inwendig product van vectoren uit een reële vectorruimte is commutatief: \bold{u} \cdot \bold{v} = \bold{v} \cdot \bold{u}

Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter niet meer noodzakelijk commutatief.

Algemene definitie[bewerken]

Een inwendig product, ook inproduct of scalair product genoemd, op een reële vectorruimte V is een symmetrische positief definiete bilineaire vorm \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb R. Dat wil zeggen dat voor x,y,z\in V en \lambda\in\mathbb R aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. bilinear:
    • \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
    • \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
    • \langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle
  2. symmetrisch: \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle
  3. positief definiet: \langle x,x \rangle \geq 0 voor alle x en \langle x,x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0

Een inwendig product of inproduct op een complexe vectorruimte V is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb C. Dat wil zeggen dat voor x,y,z\in V en \lambda\in\mathbb C aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. sesquilineair:
    • \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
    • \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
    • \langle x,\bar\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle
  2. hermitisch: \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}
  3. positief definiet: \langle x,x\rangle > 0 voor x \ne 0

Hier is \overline{z} de complex geconjugeerde van z.

Voorbeelden[bewerken]

De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:

  • in \mathbb{C}^n:
  • in een vectorruimte van reëel- of complexwaardige integreerbare functies:
    • f \cdot g=\int_a^b{f(t)\overline{g(t)}dt}
    • f \cdot g=\frac{1}{b-a}\int_a^b{f(t)\overline{g(t)}dt},
waarbij \overline{g(t)} staat voor de complex geconjugeerde van g(t).
Afhankelijk van de keuze van de vectorruimte van functies, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte

Norm[bewerken]

Bij een inproduct op een willekeurige reële of complexe vectorruimte hoort op natuurlijke wijze een norm

\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}

Een genormeerde vectorruimte, waarvan de norm op dergelijke wijze afkomstig is van een inproduct, heet een prehilbertruimte, omdat haar metrische vervollediging een Hilbertruimte is.

Het inproduct kan steeds uit de norm worden gereconstrueerd. In een reële prehilbertruimte geldt

2\langle x,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle=\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2

of

2\langle x,y\rangle=\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2

en ook

4\langle x,y\rangle = \|x + y \|^2 - \|x-y\|^2

In een complexe prehilbertruimte daarentegen hebben we:

4\langle x,y \rangle = \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2

Hoek[bewerken]

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz begrenst het inproduct van twee willekeurige vectoren door het product van hun normen:

\forall x,y\in V:\left|\langle x,y\rangle\right|\leq\|x\|.\|y\|

De hoek  \alpha tussen x en y wordt gegeven door

 \cos( \alpha ) = \frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het reële deel van het rechterlid tussen -1 en 1 ligt.

Equivalentie van de beide definities[bewerken]

Afbeelding horend bij bewijs.

In twee dimensies laat het volgende bewijs zien dat beide definities equivalent zijn. Het bewijs kan heel gemakkelijk doorgetrokken worden naar drie dimensies. Stel gegeven twee vectoren u=(u_1,u_2) en v=(v_1,v_2) in het vlak. Te bewijzen:

v_1u_1+v_2u_2 = \|v\|\|u\|\cos(\alpha).

Voor de lengte L van het blauwe lijnstuk in de figuur geldt volgens de stelling van Pythagoras:

L^2=(v_1-u_1)^2+(v_2-u_2)^2

Anderzijds volgt uit de cosinusregel:

L^2= \|v\|^2+\|u\|^2-2\|v\|\|u\|\cos(\alpha)

Gelijkstellen van de beide uitdrukkingen levert:

v_1^2-2v_1u_1+u_1^2+v_2^2-2v_2u_2+u_2^2 = v_1^2+v_2^2+u_1^2+u_2^2-2\|v\|\|u\|\cos(\alpha),

waaruit volgt:

v_1u_1+v_2u_2 = \|v\|\|u\|\cos(\alpha)

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]