Inwendig product

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Meetkundige betekenis voor het geval van een scherpe hoek: inwendig product A.B = lengte van B × lengte van projectie van A op B

Het inwendig product (ook wel inproduct of scalair product genoemd) van twee vectoren is een begrip uit de lineaire algebra. Ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren en gedefinieerd als:

waarin de hoek tussen de vectoren is en en respectievelijk de normen van de vectoren en zijn. Het scalair product van de vectoren is dus, zoals de naam al aangeeft, een scalair en geen vector.

Men noteert het inproduct ook als:

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren en elementen zijn van de , de n-dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

en

.

dan kan het inwendig product vastgelegd worden als:

.

Deze vorm van het inwendig product heet het standaardinproduct; het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte.

Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefiniëerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.

Eigenschappen[bewerken]

  • De vectoren en staan loodrecht op elkaar dan en slechts dan als hun inproduct gelijk aan 0.
  • Het inwendig product van vectoren uit een reële vectorruimte is commutatief:

Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter niet meer noodzakelijk commutatief.

Algemene definitie[bewerken]

Een inwendig product, ook inproduct of scalair product genoemd, op een reële vectorruimte V is een positief definiete symmetrische bilineaire vorm . Dat wil zeggen dat voor en aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. bilinear:
  2. symmetrisch:
  3. positief definiet: voor alle x en

Een inwendig product of inproduct op een complexe vectorruimte V is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm . Dat wil zeggen dat voor en aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:

  1. sesquilineair:
  2. hermitisch:
  3. positief definiet: voor

Hier is de complex geconjugeerde van z.

Een vectorruimte met inwendig product is een inwendig-productruimte.

Eindigdimensionale geval[bewerken]

In is de algemene vorm van een inwendig product , waarin A staat voor een positief-definiete matrix; iedere positief-definiete matrix kan geschreven worden als met B een inverteerbare matrix, en omgekeerd geeft een willekeurige inverteerbare matrix B zo'n A. B is voor een gegeven A niet uniek, want CB met C een orthogonale matrix geeft dezelfde A.

Er geldt dus met de gewone norm.

Voorbeelden[bewerken]

De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:

  • in :
    • waarin H staat voor de complex geconjugeerde van de getransponeerde van een vector (de hermitisch toegevoegde);
  • in een vectorruimte van reëel- of complexwaardige integreerbare functies:
    • ,
waarbij staat voor de complex geconjugeerde van g(t).
Afhankelijk van de keuze van de vectorruimte van functies, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte
  • van matrices:

Norm[bewerken]

Bij een inproduct op een willekeurige reële of complexe vectorruimte hoort op natuurlijke wijze een norm

Een genormeerde vectorruimte waarvan de norm op dergelijke wijze afkomstig is van een inproduct, heet een prehilbertruimte, omdat haar metrische vervollediging een Hilbertruimte is.

Het inproduct kan steeds uit de norm worden gereconstrueerd. In een reële prehilbertruimte geldt

of

en ook

In een complexe prehilbertruimte daarentegen hebben we:

Eindigdimensionale geval[bewerken]

In bepaalt een willekeurig inwendig product een norm met de formule

met B een inverteerbare matrix (zie ook boven).

In zijn er overigens ook nog andere normen, zoals

voor andere reële waarden van p ≥ 1.

Hoek[bewerken]

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz begrenst het inproduct van twee willekeurige vectoren door het product van hun normen:

De hoek tussen x en y wordt gegeven door

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het reële deel van het rechterlid tussen -1 en 1 ligt.

Equivalentie van de beide definities[bewerken]

Afbeelding horend bij bewijs.

In twee dimensies laat het volgende bewijs zien dat beide definities equivalent zijn. Het bewijs kan heel gemakkelijk doorgetrokken worden naar drie dimensies. Stel gegeven twee vectoren en in het vlak. Te bewijzen:

Voor de lengte L van het blauwe lijnstuk in de figuur geldt volgens de stelling van Pythagoras:

Anderzijds volgt uit de cosinusregel:

Gelijkstellen van de beide uitdrukkingen levert:

waaruit volgt:

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]