Cosinusregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Driehoek

In de goniometrie beschrijft de cosinusregel een relatie tussen de drie zijden van een driehoek en de cosinus van een hoek.

Voor de driehoek in de figuur kan de cosinusregel op drie wijzen worden geformuleerd:

en natuurlijk ook:

De regel kan onder andere worden toegepast om

  • de derde zijde te berekenen, wanneer twee zijden en de door deze zijden ingesloten hoek bekend zijn (congruentiestelling ZHZ)
  • een hoek te berekenen als de drie zijden bekend zijn (congruentiestelling ZZZ)

Is een rechte hoek (90°), dan is en vervalt de cosinusregel tot , de stelling van Pythagoras

Toepassingen[bewerken]

De regel kan onder andere worden toegepast om

  • de derde zijde te berekenen, wanneer twee zijden en de door deze zijden ingesloten hoek bekend zijn (congruentiestelling ZHZ)
  • een hoek te berekenen als de drie zijden bekend zijn (congruentiestelling ZZZ)

Congruentiestellingen voor een driehoek[bewerken]

De congruentiestellingen ZZZ (zijde-zijde-zijde) en ZHZ (zijde-hoek-zijde) geven aan, dat een driehoek volledig bepaald is, wanneer alle drie de zijden (ZZZ) of twee zijden en de daardoor ingesloten hoek (ZHZ) bekend zijn. De cosinusregel staat het in deze gevallen toe uit de drie gegeven gegeven informatie-elementen een vierde, namelijk een hoek (in het geval van ZZZ) of de lengte van de derde zijde (in het geval van ZHZ) te berekenen. Wanneer men vervolgens ook de andere hoeken van een driehoek wil bepalen, kan men daarvoor opnieuw de cosinusregel of ook de sinusregel toepassen. Daar de som van de hoeken 180 graden is, kent men snel de laatste hoek.

Als er slechts een zijde en twee hoeken (de congruentiestellingen ZHH of HZH) of twee zijden en de tegenoverliggende hoek van de grootste zijde (Congruentiestelling ZzH) bekend zijn, kan men eerst een van de ontbrekende hoeken met de sinusregel berekenen, waarna de derde hoek ook automatisch bekend is (180-gradenregel). Afsluitend kan men de cosinusregel toepassen om de derde zijde te bepalen.

Bewijs[bewerken]

Er bestaan vele bewijzen van de cosinusregel. We bespreken er hier drie.

Directe afleiding[bewerken]

Vanuit C is de loodlijn neergelaten op de zijde . Zoals men in de figuur kan zien, verdeelt de loodlijn de driehoek in twee rechthoekige driehoeken. Volgens de stelling van Pythagoras geldt:

afbeelding horend bij uitleg

en

Eliminatie van geeft:

Verder is:

, waaruit volgt

Beide formules gecombineerd geeft:

Vectorformulering[bewerken]

Beschouw de zijden van de driehoek als vectoren en noem:

Dan is:

zodat met het inwendig product van twee vectoren volgt:

.

De laatste gelijkheid volgt uit de definitie van de hoek tussen twee vectoren.

Vergelijking van oppervlakten[bewerken]

Een ander bewijs gaat door vergelijking van oppervlakten. We moeten onderscheid maken in het geval met scherpe hoek en het geval met stompe hoek .

Geval met scherpe hoek
Fig 2: Met scherpe hoek

Figuur 2 laat een zevenhoek zien die verdeeld is in:

  • de roze oppervlakten links en en rechts
  • de driehoek ABC in het blauw
  • grijze hulpdriehoeken alle congruent met driehoek ABC.

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts blijkt:

waaruit de cosinusregel volgt.

Fig 3: Met stompe hoek
Geval met stompe hoek

Figuur 3 laat een zeshoek zien die verdeeld is in:

  • de roze oppervlakten en links en rechts
  • twee keer in het blauw met driehoek ABC congruente driehoeken

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts volgt direct de cosinusregel:

NB[bewerken]

De cosinusregel is in feite gelijk aan de projectiestelling.

Zie ook[bewerken]