Driehoek (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een willekeurige driehoek

Een driehoek is een meetkundige figuur die ontstaat door drie punten die niet op een rechte lijn liggen met elkaar te verbinden. De verbindende lijnstukken heten de zijden van de driehoek. De driehoek met de hoekpunten A,B en C wordt genoteerd als \triangle ABC. Meestal worden voor een willekeurige driehoek de hoekpunten zo gekozen als in de figuur: links het hoekpunt A, rechts B en in de top C. De hoeken van de driehoek worden meestal overeenkomstig de hoekpunten aangeduid met α, β en γ, en de zijden van de driehoek met de letters a, b en c, zo dat a de tegenover A liggende zijde is, b tegenover B ligt en c tegenover C.

Een driehoek is een 2-simplex.

Pythagoras bewees dat de som van de hoeken van een driehoek steeds 180 graden is, al denkt men dat de ontdekking gedaan werd door een leerling van hem en uit respect aan hem werd toegeschreven.

\alpha + \beta + \gamma = 180^o

Indeling[bewerken]

Er zijn verschillende soorten driehoeken.

Indeling op basis van de hoeken[bewerken]

Soorten driehoeken op basis van hoeken.png
  • scherpe driehoek: alle hoeken zijn kleiner dan 90 graden.
  • rechthoekige driehoek: een van de hoeken is 90 graden.
  • stompe driehoek: een van de hoeken is groter dan 90 graden.

Indeling op basis van de zijden[bewerken]

Soorten driehoeken op basis van zijden.png

Speciale gevallen: als de driehoek twee even lange zijden heeft.

  • gelijkbenige driehoek: er zijn twee of drie even lange zijden. In het laatste geval is de driehoek gelijkzijdig (elke gelijkzijdige driehoek is ook gelijkbenig). De beide hoeken die aan de derde zijde grenzen( de basishoeken)zijn aan elkaar gelijk.
  • gelijkzijdige driehoek: alle zijden zijn even lang. De drie hoeken zijn ook even groot, namelijk 60°. Verder is vanuit ieder hoekpunt de zwaartelijn tevens de bissectrice en de hoogtelijn. Daarnaast ontstaat er door zes gelijkzijdige driehoeken in elkaar te schuiven een regelmatige zeshoek. Een gelijkzijdige driehoek is een voorbeeld van een regelmatige veelhoek. De formule voor de oppervlakte O van een gelijkzijdige driehoek met zijden van z cm is
O =\tfrac 14 \sqrt{3} \cdot z^2

Ontaarde driehoek[bewerken]

Als de drie hoekpunten op een lijn liggen, is er geen sprake van een echte driehoek. Omdat het toch zinvol kan zijn over zo'n driehoek te spreken wordt die driehoek ontaard genoemd.

Oppervlakte[bewerken]

De oppervlakte O van een driehoek is gelijk aan het halve product van de lengte van een zijde en die van de loodlijn neergelaten van het tegenover deze zijde gelegen hoekpunt op de zijde. Anders geformuleerd: basis × halve hoogte.

O = \tfrac 12 bh_b=\tfrac 12 ab\sin\gamma.

Een andere manier om de oppervlakte te berekenen is met de formule van Heron.

O = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

Hierin is O de oppervlakte van de driehoek, a, b en c de lengtes van de zijden en s de halve omtrek:

s=\frac 12 (a+b+c).

Deze formule kan omgewerkt worden tot;

\displaystyle O = \frac14 \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)},

of nog anders geschreven:

\displaystyle O = \frac14 \sqrt{2(a^2 b^2 + b^2 c^2 + a^2 c^2) - (a^4+b^4+c^4)}.

3D[bewerken]

Driehoeken vormen de basis voor 3D-berekeningen met polygonen.

Vakwerk[bewerken]

Een driehoek met scharnierende hoekpunten is de eenvoudigste statisch bepaalde constructie die met balken kan worden gemaakt (zie Stabiliteitsverband). Driehoeken vormen de basis van zogenaamde vakwerkconstructies, wat goed te zien is in huizen die geconstrueerd zijn op basis van vakwerkbouw. Ook grote staalskeletbouwsels zoals hijskranen maken hiervan gebruik.

Zie ook[bewerken]