Omgeschreven cirkel

Omgeschreven cirkel C van een cyclische veelhoek P

Het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek is het snijpunt van de middelloodlijnen door de drie zijden van die driehoek.

In de meetkunde is een omgeschreven cirkel van een veelhoek een cirkel die door alle hoekpunten van een veelhoek gaat. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van alle zijden van deze veelhoek.

Een veelhoek waarvan alle hoekpunten op een omgeschreven cirkel liggen, wordt een cyclische veelhoek of koordenveelhoek genoemd. Alle regelmatige veelhoeken, alle rechthoeken en alle driehoeken zijn cyclische veelhoeken.

Het middelpunt van een omgeschreven cirkel van een driehoek

Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek wordt meestal aangeduid met O. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(3) en het complement van het hoogtepunt. Het ligt op de rechte van Euler en de cirkel van Lester.

Barycentrische coördinaten voor het middelpunt van de omgeschreven cirkel zijn, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie

$\left(a^{2}S_{A}:b^{2}S_{B}:c^{2}S_{C}\right)$

Voor een driehoek met hoekpunten (x₁,y₁), (x₂,y₂) en (x₃,y₃) in Cartesische coördinaten, zijn de coördinaten van het middelpunt van de omgeschreven cirkel

$\left({\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{array}}\right|}{2\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}}\right|}},{\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\end{array}}\right|}{2\left|{\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}}\right|}}\right)$

Idem in traditionele notatie: Met

$d=2(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))$

worden de coördinaten van het middelpunt (x_m, y_m)

$x_{m}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(y_{2}-y_{3})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(y_{1}-y_{2})}{d}}$

$y_{m}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{3}-x_{2})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(x_{2}-x_{1})}{d}}$.

De straal

De straal van de omgeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met R.

Driehoek

In een driehoek kan hij worden berekend met de sinusregel. Enkele andere formules om R te berekenen zijn:

• $R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$
• $R={\frac {abc}{4rs}}$
• $R={\frac {r}{\cos A+\cos B+\cos C-1}}$

waarin:

r is de straal van de ingeschreven cirkel

s de halve omtrek van ABC

A, B en C de hoeken van ABC.

Voor een rechthoekige driehoek met rechte hoek bij A geldt $R={\frac {a}{2}}$

Koordenvierhoek

Van een koordenvierhoek met lengtes van de zijden a, b, c en d en halve omtrek s, is de straal van de omgeschreven cirkel gegeven door

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

Regelmatige veelhoek

Van een regelmatige veelhoek met n zijden van lengte a is de straal van de omgeschreven cirkel

$R={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

Barycentrische coördinaten

De vergelijking van de omgeschreven cirkel van een driehoek ABC in barycentrische coördinaten is

$a^{2}yz+b^{2}xz+c^{2}xy=0$.

Zie ook

Ingeschreven cirkel

Mediabestanden

Zie de categorie Circumcircles van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.