Omgeschreven cirkel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Omgeschreven cirkel, C, en middelpunt, O, van een cyclische veelhoek, P

In de meetkunde is een omgeschreven cirkel van een veelhoek een cirkel die door alle hoekpunten van een veelhoek gaat. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van alle zijden van deze veelhoek.

Een veelhoek die een omgeschreven cirkel heeft wordt een cyclische veelhoek genoemd. Alle regelmatige veelhoeken, alle driehoeken en alle rechthoeken zijn cyclische veelhoeken.

Het middelpunt van een omgeschreven cirkel van een driehoek[bewerken]

Constructie van de omgeschreven cirkel (rood), en het middelpunt daarvan (rode punt)

Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek wordt meestal aangeduid met O. Het is het driehoekscentrum met Kimberling nummer X(3), en is het complement van het hoogtepunt. Het ligt op de rechte van Euler en de cirkel van Lester.

Barycentrische coördinaten voor het middelpunt van de omgeschreven cirkel zijn, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie

 \left(a^2S_A : b^2S_B : c^2S_C\right) .

Voor een driehoek met hoekpunten (x1,y1), (x2,y2) en (x3,y3) in Cartesische coördinaten, zijn de coördinaten van het middelpunt van de omgeschreven cirkel

\left( \frac{\left| \begin{array}{ccc}
x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\
x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\
x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \end{array} \right|}
{2\left| \begin{array}{ccc}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|},
\frac{\left| \begin{array}{ccc}
x_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \end{array} \right|}
{2\left| \begin{array}{ccc}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|} \right).

De straal[bewerken]

De straal van de omgeschreven cirkel wordt meestal aangeduid met R.

Driehoek[bewerken]

In een driehoek kan hij worden berekend met de sinusregel. Enkele andere formules om R te berekenen zijn:

  • R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}},
  • R = \frac{abc}{4rs},
  • R = \frac{r}{\cos A + \cos B + \cos C - 1},

waarin:

r is de straal van de ingeschreven cirkel
s de halve omtrek van ABC
A, B en C de hoeken van ABC.

Voor een rechthoekige driehoek met rechte hoek bij A geldt R = \frac {a}{2}

Koordenvierhoek[bewerken]

Van een koordenvierhoek met lengtes van de zijden a, b, c en d en halve omtrek s, is de straal van de omgeschreven cirkel gegeven door

R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.

Regelmatige veelhoek[bewerken]

Van een regelmatige veelhoek met n zijden van lengte a is de straal van de omgeschreven cirkel

R = \frac{a}{2\sin \left(\frac{180}{n}\right)}.

Barycentrische coördinaten[bewerken]

De vergelijking van de omgeschreven cirkel van een driehoek ABC in barycentrische coördinaten is

 a^2yz + b^2xz + c^2xy = 0.

Zie ook[bewerken]