Rechte van Euler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De rechte van Euler

De rechte van Euler is de lijn door het hoogtepunt H, het zwaartepunt Z en het middelpunt O van de omgeschreven cirkel van een driehoek. De ontdekking van deze lijn wordt toegeschreven aan Leonhard Euler.

De verhouding van de lengtes van de lijnstukken HZ en ZO is HZ:ZO = 2:1. Ook het middelpunt van de negenpuntscirkel ligt op de rechte van Euler.

In barycentrische coördinaten gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie is de vergelijking van de rechte van Euler

S_A(b^2-c^2)x + S_B(c^2-a^2)y + S_C(a^2-b^2)z = 0.

Het lijnstuk "OZH" uit de rechte van Euler heeft lengte

OZH = \sqrt[2]{9R^2-(a^2+b^2+c^2)},

waarbij a, b en c de zijden zijn van driehoek ABC en R de straal is van de omschreven cirkel van driehoek ABC.

Oneigenlijk punt[bewerken]

Het oneigenlijke punt van de rechte van Euler is het driehoekcentrum met Kimberlingnummer X(30) en heeft barycentrische coördinaten

\left( (b^2-c^2)^2 + a^2(b^2+c^2) - 2a^4 : (c^2-a^2)^2 + b^2(a^2+c^2) - 2b^4 : (a^2-b^2)^2 + c^2(a^2+b^2) - 2c^4 \right).

Zie ook[bewerken]