Vijfenzestigduizend-vijfhonderdzevenendertighoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een vijfenzestigduizend-vijfhonderdzevenendertighoek of 65537-hoek is een meetkundige figuur (een veelhoek) met 65537 hoeken en evenzoveel zijden. Het aantal hoeken en zijden van een veelhoek wordt meestal aangegeven met de letter en in dit geval is dus .

Regelmatige 65537-hoek[bewerken | brontekst bewerken]

  • De grootte van een hoek van een regelmatige 65537-hoek is (in graden):
  • De algemene formule voor de oppervlakte van een regelmatige -hoek waarvan de lengte van de zijde gelijk is aan , luidt:
Voor is dat:
  • Voor de omtrek van een regelmatige -hoek die is ingeschreven in een cirkel[1] waarvan de lengte van de straal gelijk is aan , geldt:
Met geeft dit:
Hieruit volgt een benadering van het getal in decimalen: en dit is gelijk aan de werkelijke waarde van bij afronding op decimalen. Een regelmatige 65537-hoek valt daardoor vrijwel samen met zijn omgeschreven cirkel.

Construeerbaarheid[bewerken | brontekst bewerken]

Het getal is een zogenoemd Fermat-priemgetal, omdat het een priemgetal is en omdat:

Op grond van de stelling van Gauss-Wantzel is een regelmatige 65537-hoek te construeren met passer en (ongemerkte) liniaal.[2] Uiteraard is de constructie van een dergelijke veelhoek gecompliceerd. De eerste die de constructie heeft uitgevoerd, was Johann Gustav Hermes (1846-1912, Duitsland), een wiskundige die op het onderzoek van priemgetallen in 1878 was gepromoveerd.[3] Hij heeft 10 jaar (1879-1889) over de beschrijving van de constructie gedaan.[4][5]

65537-gram[bewerken | brontekst bewerken]

Een 65537-gram is een 65537-zijdige regelmatige sterveelhoek. Omdat 65537 een priemgetal is, zijn er 32767 verschillende regelmatige vormen van 65537-grammen, die kunnen worden vastgelegd via het zogeheten Schläfli-symbool voor alle getallen met .[6]

Bronnen[bewerken | brontekst bewerken]

  • (en) Mathematics Genealogy Project – Johann Gustav Hermes
  • George E. Martin (1998): Geometric constructions. New York (USA): Springer-Verlag; pp. 29–51.
  • Paul J. Nahin (2006): Dr. Euler’s Fabulous formula: cures many mathematical ills. Princeton (NY, USA): Princeton University Press; pp. 48–53.

Noten[bewerken | brontekst bewerken]

  1. Een veelhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, heet een koordenveelhoek. De cirkel is de omgeschreven cirkel van die veelhoek; de veelhoek is ingeschreven in de cirkel.
  2. N.D. Kazarinoff (1970): The Ruler and the Round. Mineola (USA): Dover Publications Inc.; reprint 2003; pp. 119-125.
  3. De titel van Hermes’ proefschrift aan de Universiteit van Königsberg luidde: Zurückführung des Problems der Kreistheilung auf lineare Gleichungen (für Primzahlen von der Form 2k + 1).
  4. Het manuscript is aanwezig op de Universiteit van Gottingen. Van de constructie is op 5 mei 1894 verslag gedaan door Felix Klein in een zitting van het Königliche Gesellschaft der Wissenschaften.
  5. Johann Gustav Hermes (1894): Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, deel 2; pp. 170/186–186/202. Via: DigiZeitschriften.
  6. Er geldt: