Spoor (lineaire algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het spoor (naar het Duitse Spur, in het Engels later vertaald door trace), aangeduid door sp of tr, van de vierkante matrix A de som van de elementen van de hoofddiagonaal van A.

\mathrm{sp}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{i i} ,

waarin a_{ij} het element in de i-de rij en j-de kolom van A is.

Eigenschappen[bewerken]

  • Het spoor van een complexe matrix is de som van haar eigenwaarden. In het spoor wordt iedere eigenwaarde zo vaak geteld als dat het de eigenwaarde van de matrix is. Een reële matrix, als speciaal geval van een complexe matrix, voldoet hier uiteraard ook aan, maar dan moet men wel de niet-reële eigenwaarden meetellen. In de karakteristieke polynoom is het spoor op het teken na de coëfficiënt van de op een na hoogste macht. Vergelijk het met de determinant, die het product van de eigenwaarden is.
  • Het spoor is een lineaire functionaal:
    • \mathrm{sp}(A+B)=\mathrm{sp}(A)+\mathrm{sp}(B)
    • \mathrm{sp}(rA)=r \cdot \mathrm{sp}(A)
  • Het spoor van de getransponeerde van een matrix en van de matrix zelf zijn hetzelfde:
    • \mathrm{sp}(A) = \mathrm{sp}(A^T)
  • Het spoor van het product van twee of meer matrices is onafhankelijk van de plaats van de twee matrices in het product. Dat geldt ook voor een matrix en de geconjugeerde van die matrix:
    • \mathrm{sp}(AB) = \mathrm{sp}(BA)
    • \mathrm{sp}(ABC) = \mathrm{sp}(CAB) = \mathrm{sp}(BCA)
    • \mathrm{sp}(P^{-1}AP)=\mathrm{sp}((PP^{-1})A)=\mathrm{sp}(A)
  • Bovenstaand verband kan bij reële of complexe matrices ook uitgedrukt worden aan de hand van de exponentiële functie. Voor de definitie van de exponentiële functie op vierkante matrices kan een machtreeks worden gebruikt, of anders de abstracte exponentiële functie uit de theorie van de Lie-algebras.
\det(\exp A)=\exp{\mathrm{sp} A}

De Lie-groep SL(n,\mathbb{R}) bestaat uit de reële n×n-matrices met determinant 1. De overeenkomstige Lie-algebra bestaat uit alle reële n×n-matrices met spoor 0.

Voorbeeld[bewerken]


A = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 4\\
   0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{sp}(A) = 3 + 4 + 0 = 7.
\,\!

De eigenwaarden van deze matrix zijn de reële getallen 3, 2+2√2 en 2–2√2 met als som 7.

Verband met eigenwaarden[bewerken]

Het spoor is een gelijksoortigheidsinvariant, wat wil zeggen dat voor iedere omkeerbare n×n-matrix B geldt:

\mathrm{sp}\ A=\mathrm{sp}(B^{-1}AB)

Als A een symmetrische matrix is, dan bestaat er een matrix B die de gegeven matrix diagonaliseert; dat wil zeggen B^{-1}AB is een diagonaalmatrix. Hieruit volgt voor dergelijke matrices opnieuw dat het spoor gelijk is aan de som van de eigenwaarden.