Spoor (lineaire algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het spoor (naar het Duits Spur, in het Engels later vertaald door trace), aangeduid door sp of tr, van de vierkante matrix A is de som van de elementen van de hoofddiagonaal van A.

\mathrm{sp}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{i i} ,

waarin a_{ij} het element in de i-de rij en j-de kolom van A is.

Eigenschappen[bewerken]

  • Het spoor van een reëel- of complexwaardige matrix is de som van haar (eventueel meervoudige) eigenwaarden (alle eigenwaarden met hun multipliciteit). In de karakteristieke polynoom is het spoor op het teken na de coëfficiënt van de op een na hoogste macht, en heeft daarmee een soortgelijke betekenis als de determinant, die het product van de eigenwaarden is.
  • Het spoor een lineaire functionaal:
    • \mathrm{sp}(A+B)=\mathrm{sp}(A)+\mathrm{sp}(B)
    • \mathrm{sp}(rA)=r \cdot \mathrm{sp}(A)
  • Het spoor is invariant onder transponeren
    • \mathrm{sp}(A) = \mathrm{sp}(A^T)
  • Het spoor is invariant onder matrixvermenigvuldiging (A en B stellen vierkante n×n-matrices voor):
    • \mathrm{sp}(AB) = \mathrm{sp}(BA)
dus ook
    • \mathrm{sp}(ABC) = \mathrm{sp}(CAB) = \mathrm{sp}(BCA)
    • \mathrm{sp}(P^{-1}AP)=\mathrm{sp}((PP^{-1})A)=\mathrm{sp}(A)
  • Bovenstaand verband kan bij reële of complexe matrices ook uitgedrukt worden aan de hand van de exponentiële functie. Voor de definitie van de exponentiële functie op vierkante matrices kan een machtreeks gebruikt worden, of anders de abstracte exponentiële functie uit de theorie van de Lie-algebras.
\det(\exp A)=\exp{\mathrm{sp} A}

De Lie-groep SL(n,\mathbb{R}) bestaat uit de reële n×n-matrices met determinant 1. De overeenkomstige Lie-algebra bestaat uit alle reële n×n-matrices met spoor 0.

Voorbeeld[bewerken]


A = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 4\\
   0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{sp}(A) = 3 + 4 + 0 = 7.
\,\!

De eigenwaarden van deze matrix zijn de (afgeronde) reële getallen 3, 4,828 en -0,828 met als som 7.

Verband met eigenwaarden[bewerken]

Het spoor is een gelijksoortigheidsinvariant, wat wil zeggen dat voor iedere omkeerbare n×n-matrix B geldt:

\mathrm{sp}\ A=\mathrm{sp}(B^{-1}AB)

Als A een symmetrische matrix is, dan bestaat er een matrix B die de gegeven matrix diagonaliseert; dat wil zeggen B^{-1}AB is een diagonaalmatrix. Hieruit volgt voor dergelijke matrices opnieuw dat het spoor gelijk is aan de som van de eigenwaarden.