Diagonaalmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een diagonaalmatrix een vierkante n×n-matrix, waarvan alle elementen buiten de hoofddiagonaal (↘) gelijk zijn aan nul. De diagonale elementen kunnen al of niet gelijk zijn aan nul.

De n×n-matrix D =(d_{i,j}) is een diagonaalmatrix als voor alle i,j \in \{1, 2, \ldots, n\}:

d_{i,j} = 0 \mbox{ voor } i \ne j

Diagonaalmatrices worden volledig bepaald door de waarden van de elementen op de hoofddiagonaal. Een gebruikelijke schrijfwijze is

D = {\rm diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)
= \begin{bmatrix}
  d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
  0 & d_2 & \ddots & \vdots \\
  \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
  0 & \cdots & 0 & d_n
\end{bmatrix}\!.

De som van de elementen op de hoofddiagonaal van de diagonaalmatrix D wordt het spoor (symbool: S) van D genoemd en bijgevolg gedefinieerd als:

S = \sum^n_{i=1} d_i = d_1 + d_2 + \cdots + d_n

Voorbeeld[bewerken]

De volgende matrix is een diagonaalmatrix:

M = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0  & 0\\
0 & 1/3 & 0  & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0  & 1/2 \\
\end{bmatrix}.

Men noteert de hoofddiagonaal ook wel als volgt: M = diag (3, 1/3, -1, 1/2)

Merk op dat de inverse en de macht van een diagonaalmatrix eenvoudig te bepalen zijn: gewoon de diagonaalelementen resp. tot de macht -1 en n nemen.

De inverse van de matrix hierboven is dan:

M^{-1} = \begin{bmatrix}
1/3 & 0 & 0  & 0\\
0 & 3 & 0  & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0  & 2 \\
\end{bmatrix},

en de n-de macht:

M^n = \begin{bmatrix}
3^n & 0 & 0  & 0\\
0 & 1/3^n & 0  & 0\\
0 & 0 & (-1)^n & 0\\
0 & 0 & 0  & 1/2^n \\
\end{bmatrix}.

De determinant van een dergelijke matrix is te bepalen door alle elementen van de diagonaal met elkaar te vermenigvuldigen. De determinant van de eerder genoemde matrix is dan:

\mbox{det}(M) = \begin{vmatrix}
3 & 0 & 0  & 0\\
0 & 1/3 & 0  & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0  & 1/2 \\
\end{vmatrix}=3\times \tfrac 13 \times (-1)\times \tfrac 12 = -\tfrac 12 .