Macht van een matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Vierkante matrices kunnen met zichzelf vemenigvuldigd worden. Net als bij getallen spreekt men van machtsverheffen: er ontstaat een macht van de matrix. Zo is:

het kwadraat van

en

(met factoren ) de -de macht van .

Gesloten vorm[bewerken]

Als de matrix diagonaliseerbaar is, kan er een gesloten vorm gevonden worden voor de -de macht van Dan geldt namelijk:

,

waarin een diagonaalmatrix is. De macht van een diagonaalmatrix is heel eenvoudig te bepalen, en:

.

Voorbeeld[bewerken]

Bepaal de -de macht van de matrix

Alle elementen boven de diagonaal zijn gelijk aan 0 en de diagonaalelementen zijn alle verschillend, zodat de diagonaalelementen ook de eigenwaarden zijn. Voor een diagonaalvorm van kan men dus nemen:

De transformatie wordt bepaald door de eigenvectoren van Dit zijn: (0,0,1), (1,2,4) en (0,1,1), zodat:

Nu volgt:

Toepassing[bewerken]

Voor het bepalen van het getal in de rij van Fibonacci, hebben we de (n-1)-ste macht van de volgende matrix nodig:

Om de diagonaalvorm te vinden, berekenen we de eigenwaarden. Dit zijn de oplossingen van de karakteristieke vergelijking:

,

met oplossingen:

.

De eigenvectoren bepalen de matrix:

We vinden dus:

Van deze matrix hebben we het element linksboven nodig. Dit levert: