Machtsverheffen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Machtsverheffen is een wiskundige operatie, die wordt geschreven als xn, waarbij twee getallen, het grondtal of de factor x en de exponent n, betrokken zijn. Wanneer n een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging; met andere woorden, een product van n factoren van x:

Notatie van een macht.

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeenkomt met herhaald optellen:

Men zegt: x tot de macht n, of ook kort x tot de n-de. Zo is 2 tot de macht 3, of 2 tot de derde: 2³ = 2×2×2 = 8, met 2 het grondtal en 3 de exponent van de macht 2³. Verwar macht niet met exponent.

Machtsverheffen is een rekenkundige operatie van de derde orde.

Definitie[bewerken]

Voor het natuurlijke getal is de n-de macht van het grondtal x, genoteerd als xn, gedefinieerd als het product van n factoren x.

Uit deze definitie volgt ook dat

.

De gebruikelijke notatie is om de exponent n, die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven (superscript).

Voor is een aparte definitie nodig. Voor is de gebruikelijke definitie:

Met deze definitie blijft de betrekking geldig voor .

Door de uitbreiding van de definitie met:

zijn ook negatieve exponenten mogelijk.

Een verdere uitbreiding is:

waarmee ook gebroken exponenten mogelijk zijn.

Geschiedenis[bewerken]

De notaties x2 en x3 als afkortingen voor x.x en x.x.x komen voor bij Thomas Harriot in zijn postume werk Artis analyticae praxis uit 1631. René Descartes maakt uitgebreid gebruik van die notatie voor positieve gehele exponenten. John Wallis definieert negatieve en gebroken exponenten.[1]

Rekenen met machten[bewerken]

Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor x ≠ 0 is:

De afspraak is zo gekozen dat de genoemde rekenregels algemeen geldig zijn voor

  • voor , en ook voor als geheel zijn.

Deze rekenregel houdt bijvoorbeeld in dat .

N.B. machtsverheffen is dus ook niet associatief, dan was:

  • als a geheel is of als .

Als het grondtal 0 is.

Voor a > 0 is:

  • wordt vaak niet gedefinieerd. Soms wordt ervoor gekozen te stellen, zie onder: Nul tot de macht nul.

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal a geldt:

Omgekeerde bewerkingen[bewerken]

Daar machtsverheffen niet commutatief is,

terwijl

,

zijn er twee omkeerbewerkingen: worteltrekken en logaritme

en
en .

Afgeleide[bewerken]

Vatten we de a-de macht van x op als functie van x, dus voor zekere exponent a:

dan wordt de afgeleide gegeven door:

Vatten we een macht op als functie van de exponent, dus voor zeker grondtal a:

dan wordt de afgeleide gegeven door:

waarbij met de natuurlijke logaritme bedoeld wordt

Machten en complexe getallen[bewerken]

Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

.

Reeksontwikkeling met machten[bewerken]

Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten geschreven worden. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen a, b (a positief) geldt

Nul tot de macht nul[bewerken]

In situaties waar de exponent niet continu verandert komt men de afspraak 00 = 1 op een aantal plaatsen tegen:

  • De IEEE standaard.
  • Combinatorisch stelt nm het aantal afbeeldingen voor van een verzameling van m elementen in een verzameling van n elementen. Doorredenerend is 00 het aantal afbeeldingen van de lege verzameling in de lege verzameling. Dat is 1 (de lege functie).
  • Een machtreeks als zou anders niet gedefinieerd zijn voor x = 0, of men zou de langere formule moeten hanteren. Hetzelfde geldt voor polynoom notatie .
  • De formule voor het binomium is niet geldig voor x = 0 zonder deze afspraak.
  • De formule waarin staat dat de afgeleide functie van voor alle gelijk is aan maakt, bij n=1, impliciet de aanname dat x0 = 1 voor alle x.
  • De stelling dat men bij machtsverheffing modulo m het grondtal mag herleiden klopt alleen als .

Zie ook[bewerken]

Link[bewerken]