Binomium van Newton

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het binomium van Newton is een wiskundige formule waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen.

Natuurlijke exponent[bewerken]

De binomiaalcoëfficiënten in de driehoek van Pascal

De eenvoudigste vorm is

waarbij n een natuurlijk getal is, en de getallen

de binomiaalcoëfficiënten.

Dit zijn de uitwerkingen voor n=2, n=3 en n=4:

Formule (1) geldt voor alle reële en complexe getallen x en y, en meer in het algemeen voor elk paar elementen x en y in een commutatieve ring.

Deze formule, en de rangschikking van binomiale coëfficiënten in een driehoek, worden vaak toegeschreven aan Blaise Pascal omdat die ze in de 17e eeuw beschreef. De formule was bij Chinese wiskundigen echter lang daarvoor al bekend.

Algemene formule[bewerken]

Isaac Newton generaliseerde de formule voor andere exponenten tot

waarin een willekeurig complex getal kan zijn (dus ook elk reëel getal; niet noodzakelijkerwijs positief of geheel). De coëfficiënten van de reeks in het rechterlid zijn gedefinieerd door:

,

met de afspraak dat

.

De convergentiestraal van de reeks is 1, d.w.z. dat de reeks convergeert voor reële of complexe getallen met .

De formule is ook geldig in een Banach-algebra mits .

Het belangrijkste verschil tussen het gebruik van natuurlijke machten en complexe machten is dat bij het ontwikkelen van de reeks bij natuurlijke macht n de binomiaal coëfficiënten 0 worden na n+1 termen. Daarom wordt bij formule (1) slechts de eerste n+1 termen genomen. Illustratie van dit fenomeen:

In het algemene geval zorgt de factor 0 in de teller van deze breuk voor het nul zijn van de getallen met n < k en n,k beide natuurlijke getallen.

In het Engels wordt Newton's naam overigens slechts verbonden aan de algemene formule (Newton's generalised binomial theorem). Formule (1) heet simpelweg binomial theorem (vrij vertaald: binomiaalstelling).

Voor twee complexe getallen en met geldt:

Zie ook[bewerken]