Binomium van Newton

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het binomium van Newton is een wiskundige formule waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen.

Natuurlijke exponent[bewerken]

De binomiaalcoëfficiënten in de driehoek van Pascal

De eenvoudigste vorm is

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\quad\quad\quad(1)

waarbij n een natuurlijk getal is, en de getallen

{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

de binomiaalcoëfficiënten.

Dit zijn de uitwerkingen voor n=2, n=3 en n=4:

(x + y)^2= x^2+2xy+y^2\!
(x + y)^3= x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\!
(x + y)^4= x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\!

Formule (1) geldt voor alle reële en complexe getallen x en y, en meer in het algemeen voor elk paar elementen x en y in een commutatieve ring.

Deze formule, en de rangschikking van binomiale coëfficiënten in een driehoek, worden vaak toegeschreven aan Blaise Pascal omdat die ze in de 17e eeuw beschreef. De formule was bij Chinese wiskundigen echter lang daarvoor al bekend.

Algemene formule[bewerken]

Isaac Newton generaliseerde de formule voor andere exponenten, door het beschouwen van de reeks:

{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k\quad\quad\quad(2)}

waarin r een willekeurig complex getal kan zijn (dus ook elk reëel getal; niet noodzakelijkerwijs positief of geheel), en waarbij de coëfficiënten gelijk zijn aan:

{r \choose k}=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!},

met de afspraak dat voor k = 0:

{r \choose 0}= 1.

De som in (2) convergeert, en de vergelijking geldt, wanneer de reële of complexe getallen x en y "dicht bij elkaar" liggen, in de zin dat |x/y| < 1.

Formule (2) geldt ook voor elk paar waarden x en y in een Banach-algebra mits: xy = yx, y inverteerbaar en ||x/y|| < 1.

Het belangrijkste verschil tussen het gebruik van natuurlijke machten en complexe machten is dat bij het ontwikkelen van de reeks bij natuurlijke macht n de binomiaal coëfficiënten 0 worden na n+1 termen. Daarom wordt bij formule (1) slechts de eerste n+1 termen genomen. Illustratie van dit fenomeen:

{3 \choose 6}=\frac{3\cdot 2\cdot 1\cdot 0 \cdot(-1)\cdot (-2)}{6!} = 0

We hebben duidelijk factor 0 wat zorgt voor het nul worden van vanaf {n \choose k} met n < k en n,k beide natuurlijke getallen.

Zie ook[bewerken]