Naar inhoud springen

Binomiaalcoëfficiënt

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De binomiaalcoëfficiënten zijn de waarden in de driehoek van Pascal.

Een binomiaalcoëfficiënt, geschreven als

, spreek uit boven of over

is een grootheid uit de combinatoriek die aangeeft op hoeveel manieren men uit verschillende objecten er zonder terugleggen kan kiezen. Zo'n mogelijke keuze heet een combinatie of greep. Een binomiaalcoëfficiënt is gedefinieerd als het natuurlijke getal:

en

Omdat de keuze van objecten uit ook kan worden opgevat als de keuze objecten, eigenlijk de niet-gekozen objecten, moet gelijk zijn aan . Inderdaad volgt uit de definitie:

De naam binomiaalcoëfficiënt verwijst naar het resultaat van een macht van een tweeterm, een binoom is een tweeterm. Binoom komt ook in binomium van Newton voor. Blaise Pascal schreef in zijn correspondentie met Pierre de Fermat in 1654 over de berekeningen, die hij hiervoor had uitgevoerd.[1]

Als andere notatie voor de binomiaalcoëfficënt komen voor: en , waarin de staat voor de Engelse woorden 'combination' of 'choice'. Dat wordt op sommige rekenmachines met of aangegeven.

Er zijn mogelijkheden om objecten op volgorde uit verschillende te kiezen zonder terugleggen. Van elk gekozen -tal zijn er mogelijke volgordes. De binomiaalcoëfficiënt is dus .

Het aantal kleurencombinaties dat mogelijk is bij een keuze van drie kleuren uit de zeven kleuren van de regenboog, waarbij de volgorde van de kleuren niet van belang is, is

Voor de eerste kleur die wordt gekozen zijn er 7 mogelijkheden, voor de tweede nog 6 en voor de derde nog 5. In totaal dus mogelijkheden, maar daarbij is rekening gehouden met de volgorde van de kleuren. Om van deze volgorde af te zien, moet nog door het aantal volgordes van de drie kleuren worden gedeeld, dus door

Eigenschappen

[bewerken | brontekst bewerken]
  • ,
De driehoek van Pascal wordt aan de hand van deze recursieve formule samengesteld.
  • Voor een priemgetal is de binomiaalcoëfficiënt voor alle een veelvoud van . Dit is te begrijpen aangezien
,
voor alle , een natuurlijk getal is en de teller wel een priemfactor heeft, maar de noemer niet.
  • Als omgekeerd voor een natuurlijke de binomiaalcoëfficiënt voor alle een veelvoud van is, is een priemgetal.
Bewijs 

Het bewijs is een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel dat samengesteld is. Noem de kleinste priemfactor van en .

Dan is en is

Veronderstel dat een veelvoud van is, dan kan de teller door worden gedeeld.

Dit kan alleen als het product door kan worden gedeeld.

is een priemgetal en kan door worden gedeeld. Geen van de factoren uit het product kan door worden gedeeld, dus het product zelf ook niet.

Dat geeft een tegenspraak, dus moet een priemgetal zijn.

De binomiaalcoëfficiënten vinden toepassing in onder andere het binomium van Newton en in de kansrekening bij de binomiale verdeling. De coëfficiënt van de -de macht van in bijvoorbeeld het polynoom is de binomiaalcoëfficënt :