Natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme, of neperse logaritme, is een speciaal geval van de in de wiskunde gedefinieerde logaritme. De natuurlijke logaritme heeft als grondtal de wiskundige constante e (een symbool dat geïntroduceerd werd door Leonhard Euler). De natuurlijke logaritme wordt in meer praktisch gerichte situaties aangeduid door $\ln$ (logarithmus naturalis), maar men schrijft ook wel $\log$ in vakgebieden waarbij het vanzelfsprekend is dat de natuurlijke logaritme wordt bedoeld. De term 'natuurlijke logaritme' is afkomstig van de Duitse wiskundige Nikolaus Mercator.

De natuurlijke logaritme van het getal $x,$ is dus:

$\ln(x)=\ ^{\mathrm {e} }\!\log(x)$

Voor de natuurlijke logaritme gelden dezelfde rekenregels als voor een logaritme met een willekeurig getal als grondtal.

Machtreeks

Omdat de logaritme niet gedefinieerd is in het punt 0, is het gebruikelijk de reeksontwikkeling te geven rond het punt 1. Voor reële getallen $-1<x<1$ geldt:

$\ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}$

Eigenschappen

De natuurlijke logaritme heeft een aantal speciale eigenschappen, zoals:

• de afgeleide is ${\frac {\mathrm {d} \ln(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{x}}$
• de inverse functie is de e-macht, dus $e^{\ln(x)}=x$.
• Is $a$ een algebraïsch getal en verschillend van 1, dan is $\ln(a)$ een transcendent getal. Dit volgt uit de stelling van Lindemann-Weierstrass.

Zie ook

• Logaritme
• Logaritmetabel
• Briggse logaritme
• Rij van Mercator
• Henry Briggs
• Adriaen Vlacq

· ·

Wiskundige functies