Arccosinus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Arccosine.svg

De arccosinus (ook boogcosinus) aangeduid door acos, arccos, bgcos of cos-1[1]) is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de cosinus indien het domein daarvan beperkt wordt tot het interval [0, \pi]. Deze beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen –π/2 en π/2 waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is [-1,1] en het bereik is [0, \pi].

De grafiek van y = \arccos x is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte cosinus ten opzichte van de rechte y = x.

Definitie[bewerken]

De functie \arccos is gedefinieerd voor x\in [-1,1] door de relatie

\arccos(x)=\alpha \quad \Leftrightarrow \quad \alpha \in [0, \pi] \mbox{ en } \cos(\alpha)=x

Vanwege de relatie tussen de sinus en de cosinus geldt:

\arccos(x) + \arcsin(x) = \tfrac 12 \pi

Machtreeks[bewerken]

De arccosinus heeft de reeksontwikkeling:

\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}(2n+1)n!} x^{2n+1}

Daarin is Γ de gammafunctie.

Afgeleide[bewerken]

De afgeleide van de arccosinus is:

{{\rm d} \over {\rm d} x}\arccos(x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}

voor x \in (-1,1)

Zie ook[bewerken]