Arccosinus

De arccosinus, ook boogcosinus, aangeduid door $\mathrm {acos} ,\ \arccos ,\ \mathrm {bgcos}$ of $\cos ^{-1}$, is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de cosinus indien het domein daarvan beperkt wordt tot het interval $[0,\pi ]$. Deze beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen $-\pi /2$ en $\pi /2$ waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is [-1,1] en het bereik is $[0,\pi ]$.

De grafiek van $y=\arccos x$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte cosinus ten opzichte van de rechte $y=x$.

Definitie

De functie $\arccos$ is gedefinieerd voor $x\in [-1,1]$ door de relatie

$\arccos(x)=\alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \in [0,\pi ]{\mbox{ en }}\cos(\alpha )=x$

In woorden: de hoek of boog waarvan de cosinus $x$ is, is gelijk aan $\alpha$.

Vanwege de relatie tussen de sinus en de cosinus geldt:

$\arccos(x)+\arcsin(x)={\tfrac {1}{2}}\pi$

Machtreeks

De arccosinus heeft de reeksontwikkeling:

$\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}(2n+1)n!}}x^{2n+1}$

Daarin is $\Gamma$ de gammafunctie.

Afgeleide

De afgeleide van de arccosinus is:

${{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\arccos(x)={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

voor $x\in (-1,1)$

Voetnoten

· ·

Wiskundige functies