De arcsinusfunctie en arccosinusfunctie in een cartesiaans assenstelsel.
De arctangensfunctie en arccotangensfunctie in een cartesiaans assenstelsel.
De arcsecansfunctie en arccosecansfunctie in een cartesiaans assenstelsel.
Cyclometrische functies , arcfuncties of boogfuncties zijn de inverse functies van de goniometrische functies . Er zijn zes van deze functies: de boogsinus (arcsinus ), de boogcosinus (arccosinus ), de boogtangens (arctangens ), de boogcotangens (arccotangens ), de boogsecans (arcsecans ) en de boogcosecans (arccosecans ). De grafieken van deze functies worden bekomen door spiegeling ten opzichte van de rechte y=x van een gepaste beperking van de grafiek van de overeenkomstige goniometrische functies.
Naam
Notatie
Definitie
Domein
Bereik
Boogsinus
y
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle y=\arcsin(x)}
y
=
b
g
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle y=\mathrm {bgsin} (x)}
x
=
sin
(
y
)
{\displaystyle x=\sin(y)}
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
−π/2 ≤ y ≤ π/2
Boogcosinus
y
=
arccos
(
x
)
{\displaystyle y=\arccos(x)}
y
=
b
g
c
o
s
(
x
)
{\displaystyle y=\mathrm {bgcos} (x)}
x
=
cos
(
y
)
{\displaystyle x=\cos(y)}
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
0 ≤ y ≤ π
Boogtangens
y
=
arctan
(
x
)
{\displaystyle y=\arctan(x)}
y
=
b
g
t
a
n
(
x
)
{\displaystyle y=\mathrm {bgtan} (x)}
x
=
tan
(
y
)
{\displaystyle x=\tan(y)}
−
∞
≤
x
≤
∞
{\displaystyle -\infty \leq x\leq \infty }
−π/2 < y < π/2
Boogcotangens
y
=
arccot
(
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arccot}(x)}
y
=
b
g
c
o
t
(
x
)
{\displaystyle y=\mathrm {bgcot} (x)}
x
=
cot
(
y
)
{\displaystyle x=\cot(y)}
−
∞
<
x
<
∞
{\displaystyle -\infty <x<\infty }
0 < y < π
Boogsecans
y
=
arcsec
(
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcsec}(x)}
y
=
b
g
s
e
c
(
x
)
{\displaystyle y=\mathrm {bgsec} (x)}
x
=
sec
(
y
)
{\displaystyle x=\sec(y)}
−
∞
<
x
<
−
1
{\displaystyle -\infty <x<-1}
of
1
<
x
<
∞
{\displaystyle 1<x<\infty }
0
≤
y
<
1
2
π
{\displaystyle 0\leq y<{\tfrac {1}{2}}\pi }
of
1
2
π
<
y
<
π
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi <y<\pi }
Boogcosecans
y
=
arccsc
(
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arccsc}(x)}
y
=
b
g
c
s
c
(
x
)
{\displaystyle y=\mathrm {bgcsc} (x)}
x
=
csc
(
y
)
{\displaystyle x=\csc(y)}
−
∞
<
x
<
−
1
{\displaystyle -\infty <x<-1}
of
1
<
x
<
∞
{\displaystyle 1<x<\infty }
0
≤
y
<
1
2
π
{\displaystyle 0\leq y<{\tfrac {1}{2}}\pi }
of
1
2
π
<
y
<
π
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi <y<\pi }
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
arccot
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
arccsc
x
=
π
2
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x}
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x}
arccot
(
−
x
)
=
π
−
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x}
arcsec
(
−
x
)
=
π
−
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x}
arccsc
(
−
x
)
=
−
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x}
De hieronder voorgestelde identiteiten met wortels, zijn enkel de wortels van positieve reële getallen (oftewel positieve imaginaire getallen als de wortel negatief is).
Uitgaande van de relatie
tan
θ
2
=
sin
θ
1
+
cos
θ
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}
,
verkrijgt men:
arcsin
x
=
2
arctan
x
1
+
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
arccos
x
=
2
arctan
1
−
x
2
1
+
x
{\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}}
, als
−
1
<
x
≤
1
{\displaystyle -1<x\leq 1}
arctan
x
=
2
arctan
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
Verder geldt:
arcsin
x
=
arccsc
1
x
{\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}}
arccos
x
=
arcsec
1
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x=\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
arctan
x
=
arccot
1
x
{\displaystyle \arctan x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}}
arcsec
x
==
π
2
−
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc} x}
Deze functies kunnen ook aan de hand van complexe logaritmen uitgedrukt worden:
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
arccos
x
=
−
i
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
=
π
2
+
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
arctan
x
=
i
2
(
ln
(
1
−
i
x
)
−
ln
(
1
+
i
x
)
)
arccot
x
=
i
2
(
ln
(
1
−
i
x
)
−
ln
(
1
+
i
x
)
)
arcsec
x
=
−
i
ln
(
1
x
2
−
1
+
1
x
)
=
i
ln
(
1
−
1
x
2
+
i
x
)
+
π
2
arccsc
x
=
−
i
ln
(
1
−
1
x
2
+
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&{}=-i\,\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\\\arccos x&{}=-i\,\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(i\,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\\\arctan x&{}={\frac {i}{2}}\left(\ln \left(1-i\,x\right)-\ln \left(1+i\,x\right)\right)\\\operatorname {arccot} x&{}={\frac {i}{2}}\left(\ln \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\ln \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)\\\operatorname {arcsec} x&{}=-i\,\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}+{\frac {1}{x}}\right)=i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {arccsc} x&{}=-i\,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {i}{x}}\right)\end{aligned}}}