Exponentiële functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De exponentiële functie is vrijwel vlak voor negatieve waarden van x, maar wordt snel groter bij hogere, positieve waarden van x.

De exponentiële functie, genoteerd als exp(x) of ex, is zoals de naam aangeeft, een functie van de exponent en wel met grondtal het getal e, het grondtal van de natuurlijke logaritme. De exponentiële functie is een belangrijke, veelgebruikte functie in de wiskunde. Hiernaast staat de grafiek van deze functie getekend.

Exponentiële functies in het algemeen[bewerken]

Soms wordt de term exponentiële functie gebruikt voor elke functie met de vorm kax, waarin a een willekeurig positief reëel getal is, of, hiermee gelijkwaardig via b = ln a, elke functie met de vorm kebx, waarin b een willekeurig reëel getal is. De variabele x kan elk reëel of complex getal zijn, of kan zelfs een geheel ander wiskundig object zijn. Als k = 1 spreekt men wel van de antilogaritme.

Voor reële x zijn er drie gevallen:

De a, en dus ook de b, ligt vast door één getallenpaar (x , ax>) = (x , ebx) met x ≠ 0, dus door één getallenpaar (x , y) met x ≠ 0, y > 0. Deze y is de factor waarmee de functie vermenigvuldigd wordt als het argument met x toeneemt. Samen met één functiewaarde, bijvoorbeeld de beginwaarde k, ligt de functie dan helemaal vast.

Bij toepassingen is (x , y) strikt genomen geen getallenpaar maar een paar bestaande uit een grootheid x die uitgedrukt wordt in een getal en een eenheid, en een dimensieloze y. De grootheid b heeft dimensie eenheid-1. De factor ax wordt ax/eenheid, met a afhankelijk van de eenheid. Ook de k is een grootheid die uitgedrukt wordt in een getal en een eenheid, bijvoorbeeld kg of €.

Bij een exponentiële functie van de tijd is de x een tijdsduur (periode). In plaats van y wordt ook vaak y - 1 opgegeven (de fractie die erbij komt in die periode), vaak als percentage, bijvoorbeeld bij rente, bevolkingsgroei, enz. Bij effectieve rente wordt voor x een jaar genomen; bij continue rente-opbouw is b de nominale rentevoet, een grootheid van dimensie tijd-1. Bij de nominale rente op jaarbasis wordt een periode x en een factor ( y - 1 ) / x opgegeven. Bij exponentieel verval is de halveringstijd de periode x die hoort bij y = 0,5.

Formele definitie[bewerken]

De exponentiële functie kan op verschillende wijzen formeel gedefinieerd worden. Enkele gangbare definities zijn:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {x \over n} \right)^n
  • als unieke oplossing van het beginwaardeprobleem
f'(x)=f(x)\! \quad , \quad f(0)=1

De exponentiële functie is altijd positief (groter dan nul) en neemt toe met groter wordende x. De grafiek van de functie raakt de x-as echter niet, hoewel hij er willekeurig dicht toe kan naderen. De exponentiële functie is de inverse van de natuurlijke logaritme, ln(x), die gedefinieerd is voor alle positieve waarden van x.

Voorbeeld[bewerken]

Een voorbeeld van een exponentiële functie is iets wat bij iedere stap verdubbelt. Bij het begin heb je 1, na de eerste stap heb je 2, na de tweede 4, na de derde 8, na de vierde 16, en na de vijfde 32. De functiewaarde groeit dus veel sneller dan het argument. Bacteriegroei is een typisch voorbeeld van iets dat zich exponentieel ontwikkelt. Deze functies beschrijven dus wat er gebeurt bij een exponentiële groei.

Eigenschappen[bewerken]

Als het grondtal tussen 0 en 1 ligt, daalt de functie, en als het grondtal groter is dan 1, stijgt de functie. De afgeleide van een exponentiële functie is ook een exponentiële functie met hetzelfde grondtal maal de natuurlijke logaritme van het grondtal.

De formele definitie van een exponentiële functie is:

\!\, a^x=e^{x \ln a}

Deze is gedefinieerd voor alle waarden van a > 0, en alle reële getallen x. Deze functie wordt de exponentiële functie met basis a genoemd.

Het nevenstaande geldt ook voor a = e, omdat

\!\, e^{x \ln e}=e^{x\left(1\right)}=e^x.

Exponentiële functies geven als het ware een vertaling tussen optellen en vermenigvuldigen, zoals naar voren komt in de volgende exponentiële wetten:

\!\, a^0 = 1
\!\, a^1 = a
\!\, a^{x + y} =  a^x a^y
\!\, a^{x y} = \left(a^x \right)^y
\!\, {1 \over a^x} = \left({1 \over a}\right)^x = a^{-x}
\!\, a^x b^x = (a b)^x

Deze relaties zijn geldig voor alle positieve reële getallen a en b en alle reële getallen x en y. Uitdrukkingen met breuken en wortels kunnen vaak worden vereenvoudigd met de exponentiële notatie, omdat

{1 \over a} = a^{-1}

en, voor elke a > 0, reëel getal b en geheel getal n > 1: geldt:

\sqrt[n]{a^b} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^b = a^{b/n}

Antilogaritme[bewerken]

Antilogaritmen zijn de inversen van logaritmen. Als y de logaritme, met grondtal g, is van x, dan noemt men x de antilogaritme, met grondtal g, van y.

In termen van functies wordt dus onder de antilogaritme van de functie y={{\log }_{g}}x de functie x={{g}^{y}} (of na spiegeling in de lijn y = x, de functie y={{g}^{x}}) verstaan.

Deze inverse functie van de logaritme is de exponentiële functie met grondtal g.

Het gebruik van het woord antilogaritme heeft te maken met de vraag welke functies als elementairder worden beschouwd. In het middelbare schoolonderwijs worden logaritmen na machten met grondtal en exponent behandeld.

De logaritme y={{\log }_{g}}x wordt dan gedefinieerd als de exponent van het grondtal g dat bij x hoort: x={{g}^{y}}. Daarbij gaan exponentiële functies dus vooraf aan logaritmen. Deze behandelwijze gaat er echter stilzwijgend van uit dat de macht {{g}^{y}} ook gedefinieerd is voor irrationale exponenten y.

In de hogere wiskunde, waar een axiomatische opbouw van de elementaire functies wordt gehanteerd, wordt de exponentiële functie vaak gedefinieerd nadat de natuurlijke logaritme is gedefinieerd als de integraal \ln x=\int\limits_{1}^{x}{\frac{1}{t}dt}.. Via de inverse functie van de natuurlijke logaritme, dus {{e}^{x}}, wordt dan de macht voor elke reële exponent y geïntroduceerd: {{g}^{y}}=\exp \left( y\ln g \right). Bij deze voortgang vat men logaritmen als elementairder zijnde op dan exponentiële functies. Het woord antilogaritme, in de betekenis van inverse van de logaritme, is in deze voortgang toepasselijk.