Limiet

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Zie het artikel Voor het gelijknamige begrip uit de categorietheorie, zie Limiet (categorietheorie).

Het woord limiet is afkomstig van het Latijnse "limes", dat "grens" betekent. In de wiskunde kan het begrip limiet of grenswaarde goed gedemonstreerd worden met het volgende voorbeeld. De getallen uit de rij 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... naderen steeds dichter de grenswaarde 0. Het getal 0 is dan ook de limiet van deze rij. Echter, ook 1, -1/2, 1/4, -1/8, ... heeft limiet 0, waarbij de term "grens" minder van toepassing is.

Limiet van een rij getallen[bewerken]

Bij deze ε is er het getal S, zodat de functie voor waarden van x groter dan S in het interval ]L- ε,L+ ε[ ligt

Een rij getallen x_1, x_2, x_3, \dots heeft een limiet L, genoteerd als:

\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=L (dat wil zeggen, de limiet voor n naar oneindig van \ x_n is L),

als de getallen van de rij willekeurig dichtbij L in de buurt komen. De exacte definitie is:

als voor elke \epsilon>0 er een getal N bestaat, zodanig dat voor alle n>N geldt dat |x_n -L|<\epsilon.[1]

Als een rij een limiet heeft, heet hij convergent, anders divergent.

Limiet van een rij in een topologische ruimte, een metrische ruimte en een genormeerde vectorruimte[bewerken]

Algemener kan men een rij x_1,x_2,x_3,\ldots beschouwen van elementen in een metrische ruimte, of nog algemener, in een topologische ruimte (X,\mathcal{T}). De rij heet convergent als er een element x in de topologische ruimte bestaat waarvan elke willekeurig kleine omgeving een hele staart van de rij omvat. Formeel heet x een limiet van de rij x_1,x_2,x_3,\ldots, als

\forall U\in\mathcal{T}: x\in U\implies\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n>n_0:x_n\in U.

Toepassen van bovenstaande definitie met de door een metrische ruimte geïnduceerde topologie is gelijkwaardig met de volgende definitie in termen van de metriek:

\forall \epsilon>0: \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n>n_0:d(x_n,x)<\epsilon.

In een metrische ruimte heeft een rij hoogstens één limiet, in een algemene topologische ruimte kan eenzelfde rij verschillende limieten hebben. In een metrische ruimte wordt de topologische structuur volledig vastgelegd door de convergente rijen: de afsluiting van een verzameling bestaat uit alle limieten van rijen uit die verzameling. In een algemene topologische ruimte is dit evenmin gegarandeerd.

Toepassen van bovenstaande definitie met de door een norm van een genormeerde vectorruimte geïnduceerde metriek is gelijkwaardig met de volgende definitie in termen van de norm:

\forall \epsilon>0: \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n>n_0:\|x_n-x\|<\epsilon.

De algemene topologie veralgemeent het begrip rij nog tot filter. Een filter \mathcal{F} convergeert naar een punt x als alle omgevingen van x tot \mathcal{F} behoren. We zeggen in dat geval ook dat x een limiet is van \mathcal{F}. Convergentie van filters legt eenduidig de topologische structuur vast.

Limiet van een functie[bewerken]

Ook een functie kan in een bepaald punt een limiet hebben. Net als bij een rij zeggen we dat de functie f in het punt a de limiet L heeft, genoteerd als:

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L (dat wil zeggen de limiet als x nadert tot a van f(x) gelijk is aan L),

als de functiewaarden willekeurig dicht bij L komen voor punten die dicht bij a liggen. De exacte definitie is:

als voor elke \ \epsilon > 0 er een \ \delta > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met \ 0<|x-a|<\delta geldt dat \ |f(x)-L|<\epsilon.

Merk op dat het punt a zelf expliciet buiten de definitie is gelaten. De functie kan in het punt a zelf een waarde hebben verschillend van de limiet, of daar zelfs niet gedefinieerd zijn. Zo is bijvoorbeeld

\ f(x)=x^2/x

niet gedefinieerd voor x=0, maar het is eenvoudig in te zien dat

\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0.

Linker- en rechterlimiet[bewerken]

Naast het begrip limiet bestaan ook nog eenzijdige limieten, en wel de rechter- (ook wel limiet van boven) en de linkerlimiet (limiet van onder).

De rechterlimiet wordt genoteerd als \lim_{x\downarrow a} of als \lim_{x \to a^+},

en wordt gedefinieerd door:

\lim_{x\downarrow a}f(x)=b

als voor elke \epsilon > 0 er een \delta > 0 bestaat, zodanig dat voor alle y met 0<y-a<\delta geldt dat |b-f(y)|<\epsilon.

De linkerlimiet (\lim_{x\uparrow a} of \lim_{x \to a^-}) wordt analoog gedefinieerd:

\lim_{x\uparrow a}f(x)=b

als voor elke \epsilon > 0 er een \delta > 0 bestaat, zodanig dat voor alle y met 0<a-y<\delta geldt dat |b-f(y)|<\epsilon.

Merk op dat de limiet bestaat dan en slechts dan als de rechterlimiet en de linkerlimiet beide bestaan en aan elkaar gelijk zijn.

Limieten in oneindig[bewerken]

Ook kunnen we de limiet voor x naar oneindig definiëren. We zeggen dat de functie f(x) voor x\infty de limiet L heeft, genoteerd als:

\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L,

als voor elke \epsilon>0 er een N bestaat, zodanig dat voor alle y>N geldt dat |f(y)-L|<\epsilon.

Er is een verband met limieten van rijen: als een functie f een limiet heeft voor x\rightarrow \infty, dan heeft de rij x_n=f(n) dezelfde limiet. Het omgekeerde geldt niet altijd, omdat de rij alleen naar de functiewaarden in de gehele getallen 'kijkt'; tussen de gehele getallen kan de functie zich natuurlijk nog sterk "misdragen".

Metrische ruimten[bewerken]

De bovengenoemde definitie van de limiet van een functie, kan eenvoudig gegeneraliseerd worden naar metrische ruimten. Een functie f van een deelverzameling D van een metrische ruimte (M_1,d_1) naar een metrische ruimte (M_2,d_2) heeft de limiet L als x naar een ophopingspunt a van D nadert, genoteerd:

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L,

als voor elke \epsilon > 0 er een \delta > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x \in D met 0<d_1(x,a)<\delta geldt dat d_2(f(x),L)<\epsilon.

Continuïteit van een functie[bewerken]

Een functie f is continu in een punt a van zijn domein als \lim_{x\rightarrow a}f(x) bestaat en gelijk is aan f(a). Een functie f heet simpelweg continu als hij in alle punten van zijn domein continu is.

Enkele voorbeelden[bewerken]

  • \lim_{x\rightarrow 3} x^2=9
  • \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0
  • \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • \lim_{x\downarrow 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=1
  • \lim_{x\uparrow 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1
  • Omdat de vorige twee ongelijk zijn, bestaat \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x} niet.
  • \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 (dit kan berekend worden met de regel van L'Hôpital)

Verklarend voorbeeld[bewerken]

We nemen de functie f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}, en berekenen de limiet ervan in twee punten x=0 en x=-1.

x=0

Zoals in de definitie vermeld, berekenen we de functiewaarden in punten dichtbij x=0:

f(-0,1) f(-0,01) f(-0,001) f(0) f(0,001) f(0,01) f(0,1)
-0,909 -0,990 -0,999 \Rightarrow -1 \Leftarrow -1,001 -1,010 -1,111

We zien hier proberenderwijs dat de limiet van f(x) in x=0 waarschijnlijk -1 is; we noteren dit als:

 \lim_{x \to 0}f(x) = -1 .

We merken op dat de functie f gedefinieerd is voor x=0, het lijkt ons dus interessant eens te kijken wat de functiewaarde in dat punt is:

f(0)=-1

De functiewaarde in het punt 0 is gelijk aan de limiet in dat punt van de functie . Dat is de definitie van continuïteit, we kunnen stellen dat de functie f continu is in het punt x=0.

x=-1

Op dezelfde manier als hierboven berekenen we functiewaarden dichtbij x= -1:

f(-1,1) f(-1,01) f(-1,001) f(-1) f(-0,999) f(-0,99) f(-0,9)
-0,476 -0,498 -0,49975 \Rightarrow -0,5 \Leftarrow -0,5003 -0,503 -0,526

Hier vermoeden we dat de functie f een limiet heeft in x=-1, en dat deze -0,5 is:

 \lim_{x \to -1}f(x) = -0,5 .

Opnieuw kijken we of deze limiet overeenkomt met de functiewaarde in dat punt.

We zien dat de functie niet gedefinieerd is voor x=-1; de noemer wordt namelijk nul. Hier hebben we een situatie dat de limiet bestaat, maar de functiewaarde niet.

Deze merkwaardige situatie kunnen we begrijpen door de originele functie te vereenvoudigen, zodat de "eenvoudigere" functie g(x)=\frac{1}{x-1} ontstaat, waarvoor de functiewaarde voor x=-1 wél gedefinieerd is (en gelijk is aan bovenstaande limiet!)

Oneindig als 'limiet'[bewerken]

Als er in het geval van reële getallen geen convergentie is, dus er geen eindige limiet is, kan er sprake zijn van een onbegrensde toename van de waarden in de rij of de functiewaarden. Dat houdt in dat voor elk willekeurig groot getal de rij vanaf een zeker rangnummer of de functiewaarden vanaf een zeker punt alle groter zijn dan dat getal. Men zegt dan dat de limiet \infty is. Analoog heet de limiet -\infty voor onbegrensd afnemende waarden.

Definities voor rijen:

\lim_{n\to \infty} a_n=\infty, als voor elke N er een n bestaat, zodanig dat voor alle k>n geldt dat a_k>N.
\lim_{n\to \infty} a_n=-\infty, als voor elke N er een n bestaat, zodanig dat voor alle k>n geldt dat a_k<N.

Een formulering als "de rij heeft een limiet" kan daarmee onduidelijk zijn. Duidelijker zijn "de rij heeft een eindige limiet" en "de rij heeft een al of niet eindige limiet", tenzij het expliciet gaat over rijen in een ruimte met oneindig als element, zoals \overline{\R} (zie onder).

Definities voor functiesː

\lim_{x\to a}f(x)=\infty als voor elke N er een \delta > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0<|x-a|<\delta geldt dat f(x)>N.
\lim_{x\to a}f(x)=-\infty als voor elke N er een \delta > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0<|x-a|<\delta geldt dat f(x)<N.
\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty als voor elke N er een M bestaat, zodanig dat voor alle x met x > M geldt dat f(x)>N.
\lim_{x\to \infty}f(x)=-\infty als voor elke N er een M bestaat, zodanig dat voor alle x met x > M geldt dat f(x)<N.
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty als voor elke N er een M bestaat, zodanig dat voor alle x met x < M geldt dat f(x)>N.
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty als voor elke N er een M bestaat, zodanig dat voor alle x met x < M geldt dat f(x)<N.

Topologische ruimten met oneindig als element[bewerken]

Voor een rij in \overline{\R} of \widehat{\mathbb{R}} (zie topologische ruimten met oneindig als element) of een functie met domein \overline{\R} of \widehat{\mathbb{R}} en een bereik \overline{\R} of \widehat{\mathbb{R}} vallen een oneindige limiet en een limiet in oneindig onder de normale limietbegrippen voor de betreffende topologische ruimte(n): het zijn metrische topologische ruimten, het limietbegrip volgt uit dat voor bijbehorende metrische ruimten, waarbij er niet een heel rijtje definities nodig is zoals hierboven.

In het bijzonder is dus de limiet van een functie f van een deelverzameling D van \overline{\R} naar \overline{\R}, voor x naar een ophopingspunt a van D, als volgt gedefinieerdː

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L als voor elke \ \epsilon > 0 er een \ \delta > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x in D met \ 0<d(x,a)<\delta geldt dat \ d(f(x),L)<\epsilon

met d een willekeurige bijbehorende metriek. Hierbij kunnen a en L ook oneindig of min oneindig zijn. De limiet van een rij valt hier ook onder, met D = { 1, 2, 3, ..} en a oneindig.[2]

Topologisch geformuleerd:

\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L als er voor elke omgeving M van L een omgeving A van a bestaat, zodanig dat voor alle x \in D \cap A geldt dat f(x)\in M.

Als \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=L is de rij convergent als L element is van de beschouwde topologische ruimte, en anders divergent. In het bijzonder geldt dat als \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\infty, de rij convergent is als rij in \overline{\R} (ook als alle elementen van de rij eindig zijn), en divergent als rij in \R.

Limiet van een rij functies[bewerken]

Ook een rij functies f_1,f_2,f_3,\dots kan convergeren en een functie f als limiet hebben. De functionaalanalyse onderscheidt verschillende soorten convergentie. De meeste soorten convergentie kunnen worden opgevat als topologische convergenties, zoals hierboven bij "limiet van een rij in een topologische ruimte".

Puntsgewijze convergentie[bewerken]

Voor elke x convergeert de rij f_1(x),f_2(x),f_3(x),\ldots met als limiet f(x).

f(x)=(\lim_{n\to\infty}f_n)(x)=\lim_{n\to\infty}(f_n(x))

Dit is de convergentie van de producttopologie als elke functie wordt opgevat als een element uit een (oneindig) Cartesisch product.

Uniforme convergentie[bewerken]

Voor voldoend grote indices in de staart van de functierij wordt het grootste absolute verschil tussen de limietfunctie en een lid van de rij willekeurig klein

\lim_{n\to\infty}\sup_x|f_n(x)-f(x)|=0

Dit is de convergentie van de metrische ruimte van de supremumnorm.

Convergentie in kwadratisch gemiddelde[bewerken]

De kwadratische afwijking tussen de functies en hun limiet wordt willekeurig klein.

\lim_{n\to\infty}\int_x|f_n(x)-f(x)|^2dx=0

Dit is de convergentie van de pseudometrische ruimte van de kwadratisch-gemiddelde-seminorm.

Convergentie in Lp-ruimten[bewerken]

De limiet in Lp-ruimten voor 0<p\leq\infty is voor p\geq 1 gebaseerd op een norm (de p-de-machtswortel van de integraal van de p-de-macht) en voor 0<p<1 slechts op een metriek (de integraal van de p-de-macht).

Limiet van een rij krommen[bewerken]

Omdat een geparametriseerde kromme een functie is is de limiet van een rij geparametriseerde krommen een bijzonder geval van de limiet van een rij functies. Dit is onder meer aan de orde bij ruimtevullende krommen.

De lengte van een limietkromme hoeft niet de limiet van de lengtes van de krommen te zijn.

Wikibooks Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Cursus analyse: Limieten.
  1. Anders gezegd: als voor elke \epsilon>0 geldt dat voor voldoend grote n geldt dat |x_n -L|<\epsilon.
  2. Vaak wordt dan indexnotatie gebruikt in plaats van functienotatie.