Genormeerde vectorruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een genormeerde vectorruimte een vectorruimte over een deellichaam van de complexe getallen waarop een norm is gedefinieerd.

De limiet en de som van een oneindige rij hebben daarmee hun gebruikelijke betekenis.

Voorbeeld[bewerken]

Met twee- of driedimensionale vectoren met reëelwaardige kentallen, is het idee van de "lengte" van een vector een intuïtief idee, dat gemakkelijk kan worden uitgebreid naar alle reële vectorruimten De volgende eigenschappen van de "lengte van een vector" zijn essentieel.

  1. De nulvector heeft de lengte nul; alle andere vectoren hebben een positieve lengte.
    als
  2. Het vermenigvuldigen van een vector met een positief getal verandert de lengte van de vector, maar niet zijn richting. Zie eenheidsvector.
    voor enige scalar
  3. De lengte voldoet aan de driehoeksongelijkheid. Dat houdt in dat de afstand van punt A via punt B naar punt C nooit korter is dan de afstand die wordt afgelegd, wanneer men rechtstreeks van A naar C gaat, of in andere woorden de kortste afstand tussen twee punten is een rechte lijn.
    voor enige vectoren en (driehoeksongelijkheid)

Metriek[bewerken]

Op een genormeerde vectorruimte wordt door de norm een metriek geïnduceerd door de afstand tussen twee vectoren en te definiëren als de norm van de verschilvector:

Met deze metriek is een genormeerde ruimte een metrische ruimte. Als deze metrische ruimte volledig is, spreekt men van een banachruimte.