Homogeniteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra heet een fuctie homogeen als voor alle geldt:

Homogeniteit is een noodzakelijke, maar geen voldoende voorwaarde voor lineariteit.

Meer algemeen zegt men dat een functie homogeen is van de graad indien voor alle geldt:

Hierin kan elk getal zijn dat in de gegeven context zinvol als een exponent kan worden geïnterpreteerd, maar meestal beperkt men zich tot natuurlijke getallen.

Homogeniteit kan ook gegeneraliseerd worden voor functies van meerdere veranderlijken. Zo zegt men dat de functie van twee veranderlijken homogeen is van de graad indien voor alle geldt:

Voorbeeld

De functie

is homogeen van de graad 3.

Formele definitie[bewerken]

Zij een natuurlijk getal. De functie tussen twee vectorruimten over een lichaam/veld (of algemener, tussen twee modulen over een ring heet homogeen van de graad als voor alle en alle geldt

Ten behoeve van deze definitie wordt gesteld.

Voorbeelden en tegenvoorbeeld[bewerken]

  • De veeltermfunctie is homogeen van de graad 3 (men zegt ook: homogeen van de derde graad).
  • Iedere lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten (of modulen) is homogeen van de graad 1.
  • De homogene functies van de graad 0 zijn precies de constante afbeeldingen.
  • Een homogene functie van de graad 1 of hoger beeldt de nulvector altijd af op de nulvector.
  • Een veeltermfunctie in een of meer veranderlijken is dan en slechts dan homogeen van de graad als iedere afzonderlijke eenterm de graad heeft.
  • De veeltermfunctie is niet homogeen, want de eenterm heeft de graad 1 en de eenterm 1 heeft de graad 0.

Voorbeelden van afbeeldingen van naar die wel homogeen van de graad 1 zijn, maar niet lineair:

  • met .
  • .

De eerste is niet continu, de tweede en derde zijn dat wel.

Een afbeelding , of in poolcoördinaten , van naar die homogeen is van een bepaalde graad wordt gegeven door bijvoorbeeld alle waarden (dus op de eenheidscirkel), of alle waarden en de waarde , of alle waarden en de waarde (waarbij iedere combinatie van waarden een homogene afbeelding van de betreffende graad oplevert), want:

  • (voor )
  • (voor )

Bovenstaande afbeeldingen worden als afbeeldingen die homogeen van graad 1 zijn dus geheel bepaald door:

  • en
  • en
  • en

en ook door:

  • en
  • en
  • en

Als continue afbeeldingen die homogeen van graad 1 zijn worden de tweede en derde steeds uiteraard geheel bepaald door de eerste formule, want de waarden in losse punten en lijnen worden dan bepaald door de limiet te nemen (mits die, zoals hier, bestaan, en de afbeelding dus continu te maken is).

Afgeleide van een homogene functie[bewerken]

Als de reële of complexe -dimensionale coördinatenruimte is, dan kan het argument uitgeschreven worden als een -tupel

Als bovendien een genormeerde ruimte is, en is differentieerbaar en homogeen van de graad dan is de afgeleide eveneens homogeen, maar dan van de graad Dit geldt eveneens voor de afzonderlijke partiële afgeleiden.

Positieve homogeniteit[bewerken]

Als een reële vectorruimte is, onderscheidt men ook het verwante (maar ruimere) begrip positieve homogeniteit. Met de notatie van hierboven heet de functie positief homogeen van de graad als voor alle geldt;

Een positief homogene functie van de graad is homogeen van de graad maar het omgekeerde is niet noodzakelijk.

Voorbeeld[bewerken]

Een norm op een reële vectorruimte is een positief homogene functie van de graad 1, maar geen homogene functie van de graad 1 als er minstens één vector verschillend van de nulvector bestaat; immers, dan is

Homogene functiestelling van Euler[bewerken]

Zij een positief homogene reëelwaardige functie van graad op de -dimensionale reële coördinatenruimte, en noteer voor de vectorwaardige functie waarvan de componenten de partiële afgeleiden van zijn, dan is

In componenten,