Moduul

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Nuvola single chevron right.svg Dit artikel gaat over het begrip moduul in de abstracte algebra en dient niet verward te worden met de erop lijkende termen module en modulus.

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het concept van een moduul over een ring een veralgemening van de notie van een vectorruimte. In plaats van te eisen dat de scalairen in een lichaam liggen, mogen de "scalairen" in een willekeurige ring liggen. Modulen zijn veralgemeningen van abelse groepen, die op hun beurt modulen over \mathbb{Z} zijn.

Een moduul is dus, net als een vectorruimte, een additieve abelse groep. Er is een product gedefinieerd tussen elementen van de ring en elementen van het moduul. Deze vermenigvuldiging is gemengd associatief (bij vermenigvuldiging in de ring) en distributief.

Modulen zijn een van de centrale begrippen van de commutatieve algebra en de homologische algebra. Zij worden op grote schaal gebruikt in de algebraïsche meetkunde en de algebraïsche topologie.

Achtergrond[bewerken]

In een vectorruimte vormt de verzameling van scalairen een lichaam en een vectorruimte werkt in op vectoren door scalaire vermenigvuldiging, mits aan bepaalde formele wetten, zoals de distributieve wet is voldaan. In een moduul moeten de scalairen alleen een ring zijn, in die zin is het "moduul"-concept dus een belangrijke veralgemening. In de commutatieve algebra is het belangrijk dat zowel idealen als quotiëntringen modulen zijn, zodat vele argumenten over idealen of quotiëntringen kunnen worden gecombineerd tot een enkel argument over modulen. In de niet-commutatieve algebra wordt het onderscheid tussen linksidealen, idealen, en modulen meer uitgesproken, hoewel sommige belangrijke ringtheoretische voorwaarden, hetzij over linkeridealen als linkermodulen, kunnen worden uitgedrukt.

Veel van de theorie over modulen bestaat uit het zo veel mogelijk uitbreiden van de wenselijke eigenschappen van vectorruimten naar het rijk van de modulen over een zich "goedgedragende" ring, zoals een hoofdideaaldomein. Modulen kunnen echter een stuk ingewikkelder zijn dan vectorruimten; niet alle modulen hebben bijvoorbeeld een basis, en zelfs de modulen die dat wel hebben, vrije modulen, hoeven geen unieke rang te hebben als de onderliggende ring niet voldoet aan de invariante basisgetal voorwaarde. Dit in tegenstelling tot vectorruimten, die altijd een basis hebben waarvan de kardinaliteit dan uniek is (uitgaande van het keuzeaxioma).

Definities[bewerken]

Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Zij R een ring. Een linkermoduul over R is een drietal (M,+,\cdot) waarbij (M,+) een abelse groep is, en \cdot een bewerking R\times M\to M, scalaire vermenigvuldiging genaamd, die op al de volgende manieren compatibel is met de optelling in M en de bewerkingen van de ring R:

  1. \cdot(r+s,m)=\cdot(r,m)+\cdot(s,m)
  2. \cdot(r,m+n)=\cdot(r,m)+\cdot(r,n)
  3. \cdot(r,\cdot(s,m))=\cdot(rs,m)

(voor alle willekeurige r,s\in R en m,n\in M).

Gewoonlijk schrijven we de scalaire vermenigvuldiging met infix-notatie:

\cdot(r,m)=r \cdot m = rm

De bovengenoemde eigenschappen zien er dan wat gewoner uit:

  1. (r+s)\cdot m = r\cdot m+s\cdot m
  2. r\cdot(m+n)=r\cdot m+r\cdot n
  3. r\cdot(s\cdot m)=(rs)\cdot m

Als R een ring met eenheidselement is, wordt vaak expliciet of impliciet verondersteld dat 1\cdot m=m

De punt-notatie \cdot hierboven is nuttig om de definitie expliciet te maken, maar meestal wordt de scalaire vermenigvuldiging zonder bewerkingsteken genoteerd, net als de inwendige vermenigvuldiging van elementen van de ring R.

Op analoge wijze wordt een rechtermoduul gedefinieerd met een "rechter" scalaire vermenigvuldiging, als in plaats van eigenschap 3 geldt:

\cdot(s,\cdot(r,m))=\cdot(rs,m)

Voor een rechtermoduul schrijven we de "rechtse" scalaire vermenigvuldiging als:

\cdot(r,m)=m \cdot r = mr

Eigenschap 3a luidt dan:

(m \cdot r) \cdot s=m\cdot (rs)

Als de R een commutatieve ring is, valt het onderscheid tussen linker- en rechtermoduul weg en spreken we eenvoudig van een moduul.

Een bimoduul is een moduul dat een linkermoduul over een ring R en een rechtermoduul over een ring S is, waarbij de linker en rechter scalaire vermenigvuldigingen compatibel zijn, dat wil zeggen:

\cdot_R(r,\cdot_S(s,m))=\cdot_S(s,\cdot_R(r,m),

of overzichtelijker:

\,r(ms)=(rm)s

Voorbeelden[bewerken]

  • Als K een lichaam is, dan zijn de begrippen "K-vectorruimte" (een vectorruimte over K) en K-moduul identiek. (vectorruimten zijn modulen over een lichaam).
  • Het concept van een Z-moduul komt overeen met de notie van een abelse groep. Dat wil zeggen, elke abelse groep is op een unieke manier een moduul over de ring van de gehele getallen Z. Voor n > 0, laat nx = x + x + ... + x (tel het groepselement x precies |n| keer bij zichzelf op), 0x = 0, en (-n)x (met een minteken als z negatief is) = - (nx) zijn. Een dergelijke moduul hoeft geen basis-groepen te hebben die torsie-elementen bevatten. (Echter, een eindig veld, beschouwd als een moduul over hetzelfde eindige veld genomen als een ring, heeft wel een basis.)
  • Als R een willekeurig ring is en n een natuurlijk getal is, dan is het cartesisch product Rn als we de samengestelde operaties verstandig gebruiken, zowel een linker- als een rechter-moduul over R. Vandaar dat wanneer n = 1, R een R-moduul is, waar de scalaire vermenigvuldiging gewoon een ringvermenigvuldiging is. Het geval n = 0 levert de triviale R-moduul {0} die uitsluitend uit haar identiteitselement bestaat. Modulen van dit type worden vrije modulen genoemd en indien R een invariant basisgetal heeft (dat wil zeggen een willekeurige commutatieve ring of lichaam) is het getal n de rang van de vrije module.

Dualiteit[bewerken]

Het duaal moduul M* bestaat uit de lineaire afbeeldingen van M naar de ring R (deze laatste opgevat als R-moduul).

Morfismen[bewerken]

Omdat de definitie van een moduul zowel een ring als een abelse groep omvat, kan men vanuit verschillende invalshoeken categorieën en de bijhorende morfismen onderscheiden. De meest gebruikelijke opvatting gaat echter uit van één vaste ring R en beschouwt als morfismen, de lineaire afbeeldingen tussen R-modulen. In deze categorie fungeert het nulmoduul (het singleton {0}) als initiaal en finaal object.