Singleton (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een singleton of eenpuntsverzameling is in de wiskunde een verzameling met precies één element. Dit element kan zelf een verzameling zijn. Een verzameling is dus een singleton dan en slechts dan als zijn kardinaliteit gelijk is aan 1.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  • {1} is een singleton
  • {a} is een singleton
  • {1, 1} = {1} is een singleton
  • {1, 2} is geen singleton
  • { {1, 2} } is een singleton, want het heeft slechts één element, de verzameling {1, 2}, die op zijn beurt geen singleton is
  • ∅ is geen singleton
  • {∅} is een singleton

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Functies[bewerken | brontekst bewerken]

Als A een verzameling is en S een singleton, dan bestaat er precies één functie van A naar S: de functie die ieder element van A op het unieke element van S afbeeldt.

Topologie[bewerken | brontekst bewerken]

Een singleton met een punt als element is in iedere metrische ruimte een gesloten verzameling.

Axiomatische verzamelingenleer[bewerken | brontekst bewerken]

In de axiomatische verzamelingenleer is het bestaan van singletons een gevolg van de axioma's van de lege verzameling en het paringsaxioma (voor elke A en B bestaat {A , B}): het eerste geeft de lege verzameling ∅ en het tweede, toegepast op het paar ∅ en ∅, de singleton {∅}.