Ring (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De afbeelding illustreert de meetkundige optelling van een derdegraads kromme in de projectieve ruimte. De ringtheorie kent belangrijke toepassingen in de algebraïsche meetkunde.

In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een ring een algebraïsche structuur, bestaande uit een verzameling waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd die intuïtief overeenkomen met optellen en vermenigvuldigen.

Het begrip ring, dat uit onderstaande definitie van Emmy Noether afkomstig is, speelt een belangrijke rol in veel gebieden van de zuivere wiskunde, met name de abstracte algebra. Om zich te kwalificeren als een ring, moet de verzameling samen met de beide operaties, voldoen aan bepaalde voorwaarden: de verzameling moet onder optelling een abelse groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn[1]. Hoewel deze operaties bekend zijn uit vele wiskundige structuren, zoals de talstelsels van de gehele getallen, kunnen zij ook zeer algemeen een breed scala van wiskundige objecten betreffen. Daardoor kunnen objecten van zeer verschillende wiskundige oorsprong op een flexibele manier, met behoud van essentiële structurele aspecten, in de abstracte algebra en daarbuiten bestudeerd worden. De alomtegenwoordigheid van ringen maakt hen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde. De tak van de wiskunde die ringen bestudeert staat bekend als de ringtheorie[2].

Ringen komen fundamenteel overeen met de getaltheorie en de lineaire algebra. De getaltheorie kent verschillende analoge stellingen in de ringtheorie. De hoofdstelling van de rekenkunde komt bijvoorbeeld overeen met een bepaalde speciale klasse van ringen die bekendstaan als unieke factorisatiedomeinen. De theorie van matrixringen is bijvoorbeeld een opvallend gevolg van de wijze waarop de niet-commutatieve ringtheorie kan worden gebruikt om de fundamentele natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie, en symmetriefenomenen in de moleculaire scheikunde, beter te begrijpen.

Te beginnen met Richard Dedekind in de jaren 1880, is het concept van een ring ontstaan uit pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen. Andere gebieden uit de wiskunde, voornamelijk de getaltheorie, droegen aan de ringtheorie bij, maar in de jaren 1920 kreeg de theorie met Emmy Noether, Emil Artin, Wolfgang Krull en anderen een vaste en algemene vorm.[3] De moderne ringtheorie - een zeer actieve wiskundige discipline - geeft ringen hun eigen bestaansrecht. Om ringen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen bedacht om ringen in kleinere, beter begrijpelijke stukken op te delen, zoals idealen, quotiëntringen en enkelvoudige ringen. Naast deze abstracte eigenschappen, maken ringtheoretici ook onderscheid tussen de theorie van de commutatieve ringen en niet-commutatieve ringen. Deze laatste theorie behoort tot de algebraïsche getaltheorie en de algebraïsche meetkunde. Voor een bepaalde speciale klasse van commutatieve ringen heeft men een bijzonder rijke theorie ontwikkeld. Deze zogenaamde lichamen (Nederlands) of velden (Belgisch) worden binnen de veldtheorie bestudeerd. Ook de bijbehorende theorie voor niet-commutatieve ringen, dat van de niet-commutatieve delingsringen, vormt een actief onderzoeksgebied voor niet-commutatieve ringtheoretici. Sinds de ontdekking in de jaren 1980 door Alain Connes van een mysterieus verband tussen de niet-commutatieve ringtheorie en de meetkunde is de niet-commutatieve meetkunde uitgegroeid tot een bijzonder actieve discipline binnen de ringtheorie.

De gehele getallen , de rationale getallen en de reële getallen zijn met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging voorbeelden van ringen. Ook vierkante matrices en verzamelingen van polynomen zijn voorbeelden van ringen.

Illustratie[bewerken]

Eerste voorbeeld: de gehele getallen[bewerken]

Het bekendste voorbeeld van een ring is de verzameling van de gehele getallen, samen met de gebruikelijke operaties van optelling en vermenigvuldiging. Onder de optelling is een abelse groep en met betrekking tot de vermenivuldiging vormen de gehele getallen een multiplicative monoïde met 1 als eenheidselement. Ook is de vermenigvuldiging distributief over over de optelling. Het bijzondere is dius dat de beide bewerkingen, optelling en vermenigvuldiging, met elkaar verweven zijn.

Definitie[bewerken]

Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Een ring is gedefinieerd als een niet-lege verzameling , waarop twee bewerkingen en zijn gedefinieerd: een optelling en een vermenigvuldiging, zodanig dat onder de optelling een abelse groep is en onder de vermenigvuldiging een halfgroep. Verder is de vermenigvuldiging zowel links- als rechts-distributief over de optelling.

Meestal noteert men de optelling van de elementen en als . Het product (de 'vermenigvuldiging') is hier , maar meestal wordt of kortweg voor het product geschreven.

Er hoeft voor de vermenigvuldiging geen neutraal element (eenheidselement) te zijn en er hoeft dus evenmin bij een element een inverse voor de vermenigvuldiging te bestaan.

Opmerkingen[bewerken]

  • Sommige auteurs voegen nog de additionele eis toe dat het nulelement niet ook een eenheidselement is. Dit sluit slechts één ring uit: de zogenaamde triviale ring of nulring, die slechts een enkel element heeft.
  • Als de eis van het bestaan van de inverse voor de optelling wordt weggelaten, spreekt men van een semiring.

Tweede voorbeeld[bewerken]

· 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

De verzameling , bestaande uit de getallen 0, 1, 2, 3, waar optelling en vermenigvuldiging modulo 4 gedefinieerd zijn.

In de nevenstaande Cayley-tabellen staan de additieve structuur en de multiplicatieve structuur van weergeven.

Het is eenvoudig te verifiëren dat onder deze operaties een ring is. Allereerst kan men gebruikmaken van de linkertabel om aan te tonen dat gesloten is onder optelling (een resultaat is ofwel 0, 1, 2 of 3). De associativiteit van de optelling in volgt uit de associativiteit van de optelling in de verzameling van alle gehele getallen. De additieve identiteit is 0, zoals kan worden gecontroleerd door te kijken naar de linkertabel. Bij elk van de elementen is er een tegengestelde, namelijk , zoals men kan zien in de optellingstabel. Daarom is onder de optelling een abelse groep.

Ook is gesloten onder vermenigvuldiging, zoals men kan zien aan de rechtse tabel (een resultaat is ofwel 0, 1, 2 of 3). De associativiteit van de vermenigvuldiging in 4 volgt uit de associativiteit van de vermenigvuldiging voor gehele getallen. De multiplicatieve identiteit, het eenheidselement is 1, zoals kan worden geverifieerd door te kijken naar de rechtertabel. Daarom is onder vermenigvuldiging een monoïde met eenheidselement.

De distributiviteit van de twee operaties over elkaar volgt uit de distributiviteit van optelling over de vermenigvuldiging (en vice versa) voor de gehele getallen.

Daarom vormt deze verzameling inderdaad een ring onder de gegeven operaties van optelling en vermenigvuldiging.

Eigenschappen van deze ring

Als het product van twee gehele getallen en gelijk is aan 0, dan is of . Deze eigenschap geldt niet voor de ring ; bijvoorbeeld is . Het getal 2 is dus een nuldeler in de ring . Het is ook de enige nuldeler.

Derde voorbeeld: de triviale ring[bewerken]

De singleton {0} met als optelling en vermenigvuldiging:

0 + 0 = 0

en

0 × 0 = 0

vormt een ring, die bekendstaat als de triviale ring of nulring.

Basisconcepten[bewerken]

Deelring[bewerken]

Informeel gesproken is een deelring van een ring een andere ring, die 'dezelfde' operaties gebruikt en die tevens deel uitmaakt van die andere ring.

Meer formeel is de deelverzameling van de verzameling een deelring van de ring , als een ring is onder dezelfde bewerkingen als in de ring . De deelring wordt genoteerd als , met dezelfde symbolen voor de bewerkingen als in , hoewel het formeel de restricties tot zijn van de oorspronkelijke bewerkingen.

Als een ring is met eenheidselement dan is een deelring met eenheidselement als een deelring is van en beide hetzelfde eenheidselement hebben.

Als een deelring is van en de deelverzameling van is ook een deelring van , dan is tevens een deelring van .

Ringhomomorfisme[bewerken]

Een homomorfisme van een ring naar een ring is een functie die commuteert met de ringoperaties. Dat houdt in dat voor alle geldt:

en

Bovendien moet de functie het eenheidselement van afbeelden op het eenheidselement van .

De functie die bijvoorbeeld een geheel getal op haar rest modulo 4 afbeeldt (een getal in {0, 1, 2, 3}), is een homomorfisme van de ring naar de ring .

Als een ringhomomorfisme is van naar , is het origineel van het nulelement van een deelring van .

Van een ringhomomorfisme zegt men dat dit een isomorfisme is, als het in de categorie van ringen zowel een epimorfisme als een monomorfisme is.

Geschiedenis[bewerken]

Een portret van Richard Dedekind: de grondlegger van de ringtheorie.
1rightarrow blue.svg Zie Ringtheorie#Geschiedenis voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De studie van de ringen was een loot afkomstig uit de theorie van de veeltermringen en de theorie van algebraïsche gehele getallen. Verder leidde het verschijnen van hypercomplexe getallen, vanaf het midden van de negentiende eeuw, ertoe, dat het primaat van velden in de wiskundige analyse werd afgezwakt.

Richard Dedekind (afbeelding rechts) introduceerde het concept van een ring[3]. De term ring (Zahlring) werd in 1892 door David Hilbert bedacht en gepubliceerd in zijn artikel Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897. Volgens Harvey Cohn, gebruikte Hilbert de term voor een specifieke ring die de eigenschap had om "direct terug te cirkelen" op een element van zichzelf.[4]

De eerste axiomatische definitie van een ring werd door Adolf Fraenkel gegeven in een essay in de Journal für die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914.[3] In 1921 gaf Emmy Noether de eerste axiomatische fundering van de theorie van de commutatieve ringen in haar monumentale artikel Ideal Theory in Rings (Ideaaltheorie in ringen).[3]

Voorbeelden van ringen[bewerken]

  • de triviale ring {0} heeft slechts één element, dat zowel addititieve als multiplicatieve identiteit is. Deze ring wordt soms expliciet uitgesloten in de definitie.
  • de gehele getallen met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging.
  • de rationale , de reële en de complexe getallen ) met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging.
  • elk lichaam/veld is per definitie een commutatieve ring.
  • voor een gegeven ring de polynoomring in één veranderlijke, , of meer algemeen de polynoomring over in een vast (eventueel oneindig) aantal veranderlijken.
  • voor een gegeven ring en een gegeven natuurlijk getal de ring van -matrices over met paarsgewijze optelling en matrix-vermenigvuldiging.
  • de Gaussiaanse gehele getallen vormen net als de gehele getallen van Eisenstein een ring. Hetzelfde geldt voor hun veralgemening, de Kummer-ring.
  • voor een positief geheel getal de ring ) van gehele getallen modulo .
  • , de verzameling van alle continue functies van het interval [0,1] naar de reële getallen , met puntsgewijze optelling en vermenigvuldiging.
  • Als een abelse groep is, vormen de groepshomomorfismen van een ring, de endomorfe ring van . De bewerkingen in deze ring zijn optelling en compositie van endomorfismen.
  • Als een groep is en een ring, is een groepring van over een vrije module over met als een basis. De bewerking 'vermenigvuldiging' wordt gedefinieerd door de regels dat de elementen van commuteren met de elementen van en samen kunnen worden vermenigvuldigd zoals in de groep .

Bijzondere ringen[bewerken]

Als de vermenigvuldiging eveneens commutatief is, dus , spreekt men van een commutatieve ring. Een ring met een eenheidselement of identiteit heet een unitaire ring. een unitaire ring is onder de vermenigvuldiging een monoïde. Sommige wiskundigen zijn van mening dat een ring (per definitie) een eenheidselement hoort te hebben. De verzameling even gehele getallen met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging is een voorbeeld van een commutatieve ring zonder eenheidselement.

Het is in een ring mogelijk dat het product van twee elementen en beide ongelijk aan 0, toch gelijk is aan 0. Zulke elementen worden nuldelers genoemd.

Een commutatieve ring zonder nuldelers noemt men een integriteitsdomein.

Een lichaam is een speciaal geval van een commutatieve ring zonder nuldelers.

Een ideaal is een additieve deelgroep van een ring die stabiel blijft onder vermenigvuldiging met willekeurige elementen van de ring. Naargelang sommige bijzondere eigenschappen van de idealen al dan niet gelden, identificeert men verschillende soorten ringen, zo onder meer:

Zie ook[bewerken]

Speciale soorten ringen:

Voetnoten[bewerken]

  1. , en wel zo dat vermenigvuldiging distribueert over optelling
  2. Herstein, 1964, §3, blz. 83
  3. a b c d (en) Geschiedenis van de ringtheorie
  4. Cohn, Harvey, Advanced Number Theory, Dover Publications, New York, 1980, p. 49. ISBN 9780486640235.