Ring (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De afbeelding illustreert de meetkundige optelling van een derdegraads kromme in de projectieve ruimte. De ringtheorie kent belangrijke toepassingen in de algebraïsche meetkunde.

In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een ring een algebraïsche structuur, bestaande uit een verzameling V waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd die intuïtief overeenkomen met optelling en vermenigvuldigen.

Het begrip ring, dat uit onderstaande definitie van Emmy Noether afkomstig is, speelt een belangrijke rol in veel gebieden van de zuivere wiskunde, met name de abstracte algebra. Om zich te kwalificeren als een ring, moet de verzameling samen met de beide operaties, voldoen aan bepaalde voorwaarden: de verzameling moet onder optelling een abelse groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn[1]. Hoewel deze operaties bekend zijn uit vele wiskundige structuren, zoals de getalsystemen van de gehele getallen, kunnen zij ook zeer algemeen een breed scala van wiskundige objecten betreffen. Daardoor kunnen objecten van zeer verschillende wiskundige oorsprong op een flexibele manier, met behoud van essentiële structurele aspecten, in de abstracte algebra en daarbuiten bestudeerd worden. De alomtegenwoordigheid van ringen maakt hen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde. De tak van de wiskunde die ringen bestudeert staat bekend als de ringtheorie[2].

Ringen hebben een fundamentele verwantschap met de getaltheorie en de lineaire algebra. De getaltheorie kent verschillende analoge stellingen in de ringtheorie. De hoofdstelling van de rekenkunde vertaalt bijvoorbeeld naar een bepaalde speciale klasse van ringen die bekendstaan als unieke factorisatiedomeinen. De lineaire algebra is verantwoordelijk voor de rijke theorie van de algebra, inclusief, maar niet beperkt tot, matrixringen. Deze theorie van matrixringen is bijvoorbeeld een opvallend gevolg van de wijze waarop de niet-commutatieve ringtheorie kan worden gebruikt om de fundamentele natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie, en symmetriefenomenen in de moleculaire scheikunde, beter te begrijpen.

Te beginnen met Richard Dedekind in de jaren 1880, is het concept van een ring ontstaan uit pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen. Na bijdragen van andere gebieden, voornamelijk de getaltheorie, werd het ringbegrip in de jaren 1920 veralgemeend en stevig gevestigd door Emmy Noether, Emil Artin, Wolfgang Krull en anderen[3]. De moderne ringtheorie - een zeer actieve wiskundige discipline - geeft ringen hun eigen bestaansrecht. Om ringen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen bedacht om ringen in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoals idealen, quotiëntringen en enkelvoudige ringen op te delen. Naast deze abstracte eigenschappen, maken ringtheoretici ook onderscheid tussen de theorie van de commutatieve ringen en niet-commutatieve ringen. Deze laatste theorie behoort tot de algebraïsche getaltheorie en de algebraïsche meetkunde. Voor een bepaalde speciale klasse van commutatieve ringen heeft men een bijzonder rijke theorie ontwikkeld. Deze zogenaamde velden worden binnen het rijk van de veldtheorie bestudeert. Ook de bijbehorende theorie voor niet-commutatieve ringen, dat van de niet-commutatieve delingsringen, vormt een actief onderzoeksgebied voor niet-commutatieve ringtheoretici. Sinds de ontdekking in de jaren 1980 door Alain Connes van een mysterieus verband tussen de niet-commutatieve ringtheorie en de meetkunde is de niet-commutatieve meetkunde uitgegroeid tot een bijzonder actieve discipline binnen de ringtheorie.

De gehele getallen (\mathbb{Z}), de rationale getallen (\mathbb{Q}) en de reële getallen (\mathbb{R}) zijn met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging voorbeelden van ringen. Ook vierkante matrices en verzamelingen van polynomen zijn voorbeelden van ringen.

Definitie en illustratie[bewerken]

Eerste voorbeeld: de gehele getallen[bewerken]

Het bekendste voorbeeld van een ring is de verzameling Z van de gehele getallen, samen met de gebruikelijke operaties van optelling en vermenigvuldiging. Deze operaties voldoen aan de volgende eigenschappen:

  • De gehele getallen vormen een abelse groep onder de optelling; dat wil zeggen dat:
    • Afsluitingsaxioma voor optelling: Met elke twee gehele getallen a en b, is ook hun som, a + b een geheel getal.
    • Bestaan van een nulelement voor optelling: Voor ieder geheel getal a is a + 0 = 0 + a = a. Het getal 0 wordt het nulelement van de gehele getallen genoemd, omdat 0 optellen bij enig geheel getal (in willekeurige volgorde) hetzelfde gehele getal als resultaat geeft.
    • Commutativiteit van optelling: Voor elke twee gehele getallen a en b is a + b = b + a. De volgorde waarin de twee gehele getallen bij elkaar worden opgeteld is irrelevant.
    • Associativiteit van optelling: Voor alle gehele getallen, a, b en c is (a + b) + c = a + (b + c). Dus b optellen bij a, en vervolgens c bij het resultaat optellen, is hetzelfde als c bij b optellen, en dan dit resultaat bij a optellen.
    • Bestaan van een additieve inverse: Voor elk geheel getal a, bestaat er een geheel getal aangegeven door –a zodanig dat a + (–a) = (–a) + a = 0. Het element –a wordt de additieve inverse van a genoemd, omdat a optellen bij –a (in willekeurige volgorde) als resultaat het nulelement geeft.
  • De gehele getallen vormen een multiplicative monoïde (een monoïde onder vermenigvuldiging); dat wil zeggen dat:
    • Afsluitingsaxioma voor vermenigvuldiging: Met elke twee gehele getallen a en b is hun product, a · b ook een geheel getal.
    • Associativiteit van vermenigvuldiging: Voor alle gehele getallen, a, b en c is (a · b) · c = a · (b · c). Dus b vermenigvuldigen met a, en vervolgens het resultaat vermenigvuldigen met c, is hetzelfde als c vermenigvuldigen met b, en dan a met dit resultaat vermenigvuldigen.
    • Bestaan van een multiplicatief identiteitselement: Voor elk geheel getal a is a · 1 = 1 · a = a. Dus een geheel getal vermenigvuldigen met 1 (in willekeurige volgorde) geeft datzelfde gehele getal als resultaat. Het getal 1 wordt daarom de multiplicatieve identiteit genoemd.
  • Vermenigvuldiging is distributief over optelling: De beide structuren op de gehele getallen (optelling en vermenigvuldiging) zijn compatibel in de zin dat voor elke drie gehele getallen a, b en c geldt:
    • a · (b + c) = (a · b) + (a · c), en
    • (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

Formele definitie[bewerken]

Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Een ring (R,+,×) is gedefinieerd als een niet-lege verzameling R, waarop twee bewerkingen + en × zijn gedefinieerd (een optelling en een vermenigvuldiging) die voldoen aan een aantal voorwaarden (axioma's). De optelling van twee elementen a en b uit de ring R noteert men meestal met a+b en de 'vermenigvuldiging' van a en b met a×b, a·b of kortweg ab. De voorwaarden waaraan de twee bewerkingen moeten voldoen zijn:

  1. Voor alle elementen a en b uit R, zullen a+b en a×b weer tot R behoren.
    R is gesloten voor beide bewerkingen.
  2. Voor alle elementen a, b en c uit R, zal (a + b) + c = a + (b + c).
    De optelling is associatief.
  3. Er bestaat een element 0 uit R zodat voor alle a uit R geldt dat a+ 0 = 0 + a = a.
    Men noemt 0 het neutraal element (voor de 'optelling').
  4. Voor elk element a uit R bestaat er een element -a uit R zodat a+(-a) = 0 en -a + a = 0.
    Elk element uit R heeft een inverse voor de 'optelling'.
  5. Voor alle elementen a en b uit R zal a + b = b + a.
    De optelling is commutatief
  6. Voor alle elementen a, b en c uit R geldt dat (a×bc=a×(b×c).
    De vermenigvuldiging is associatief.
  7. Voor alle elementen a, b en c uit R, zal a×(b+c) = a×b + a×c.
    Voor alle elementen a, b en c uit R, zal (a+bc = a×c + b×c.
    De vermenigvuldiging is links-distributief en rechts-distributief ten opzichte van de optelling.

De eisen houden in dat de ring ten aanzien van de optelling een abelse groep is. Verder is er een vermenigvuldiging mogelijk met de gebruikelijke associatieve en ten opzichte van de optelling distributieve eigenschappen. Er hoeft echter voor de vermenigvuldiging geen neutraal element (eenheidselement) te zijn, en er hoeft dus evenmin bij een element een inverse voor de vermenigvuldiging te bestaan.

Opmerkingen[bewerken]

  • Sommige auteurs voegen nog de additionele eis toe dat het nulelement niet ook een eenheidselement is (een eenheidselement is een element 1 zodat 1×a = a×1 = a). Dit sluit slechts één ring uit; de zogenaamde triviale ring of ook wel nulring, die slechts een enkel element heeft.
  • Als we eigenschap 4 weglaten (de inverse voor de optelling), spreken we van een semiring.

Tweede voorbeeld: de ring Z4[bewerken]

· 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

Beschouw de verzameling Z4, bestaande uit de getallen 0, 1, 2, 3, waar optelling en vermenigvuldiging als volgt gedefinieerd zijn (merk op dat voor enig geheel getal, x, x mod 4 wordt gedefinieerd als de rest, wanneer x wordt gedeeld door 4):

  • Voor enige x, y in Z4, wordt x + y gedefinieerd als hun som in Z (de verzameling van alle gehele getallen) mod 4. Men kan de additieve structuur van Z4 weergeven in de meest linkse tabel.
  • Voor enige x, y in Z4, wordt xy gedefinieerd als hun product in Z (de verzameling van alle gehele getallen) mod 4. Men kan de multiplicatieve structuur van Z4 weergeven in de meest rechtse tabel.

Het is eenvoudig om te verifiëren dat Z4 onder deze operaties een ring is. Allereerst kan men gebruikmaken van de linker tabel om aan te tonen dat Z4 gesloten is onder optelling (een resultaat is ofwel 0, 1, 2 of 3). De associativiteit van de optelling in Z4 volgt uit de associativiteit van de optelling in de verzameling van alle gehele getallen. De additieve identiteit is 0, zoals kan worden gecontroleerd door te kijken naar de linker tabel. Gegeven een geheel getal x, is er altijd een inverse van x; deze inverse wordt gegeven door 4 - x, zoals men kan verifiëren door de optellingstabel. Daarom is Z4 onder optelling een abelse groep.

Evenzo is, Z4, gesloten onder vermenigvuldiging, zoals men kan zien aan de rechtste tabel (een resultaat is ofwel 0, 1, 2 of 3). De associativiteit van de vermenigvuldiging in Z4 volgt uit de associativiteit van de vermenigvuldiging in de verzameling van alle gehele getallen. De multiplicatieve identiteit is 1, zoals kan worden geverifieerd door te kijken naar de rechter tabel. Daarom is Z4 onder vermenigvuldiging een monoïde.

De distributiviteit van de twee operaties over elkaar volgt uit de distributiviteit van optelling over de vermenigvuldiging (en vice-versa) in Z (de verzameling van alle gehele getallen).

Daarom vormt deze verzameling inderdaad een ring onder de gegeven operaties van optelling en vermenigvuldiging.

Eigenschappen van deze ring[bewerken]

  • Gegeven enige twee gehele getallen, x en y, dan geldt in het algemeen dat als xy = 0, dat dan of x gelijk is aan 0 of y gelijk aan 0. Het is interessant op te merken dat deze eigenschap niet opgaat voor de ring (Z4, +, ⋅):
2 ⋅ 2 = 0
alhoewel geen van beide factoren gelijk is aan 0. In het algemeen zegt men dat een niet-nulzijnd element a van een ring, (R, +, ⋅) een nuldeler in (R, +, ⋅) is, als er niet-nulzijnd element b van R bestaat, zodanig dat ab = 0. Zo is in deze ring de enige nuldeler 2 (merk op dat 0 ⋅ a = 0 voor enige a in een ring (R, +, ⋅) zodat 0 niet als een nuldeler wordt beschouwd).
  • Een commutatieve ring, die geen nuldelers heeft, wordt een integriteitsdomein genoemd. Zo is Z, de ring van alle gehele getallen (zie hierboven), een integriteitsdomein (en daarom een ring), hoewel Z4 (het voorbeeld hierboven) geen integriteitsdomein vormt (maar wel een ring is). Zo is in het algemeen elk integriteitsdomein een ring, maar niet elke ring een integriteitsdomein.

Derde voorbeeld: de triviale ring[bewerken]

Als men op de singleton verzameling {0} definieert:

0 + 0 = 0
0 × 0 = 0

dan kan men verifiëren dat ({0}, +, ×) een ring vormt, die bekendstaat als de triviale ring. Aangezien er slechts een resultaat voor enig product van som (0) kan zijn, is deze ring zowel gesloten als associatief voor optelling en vermenigvuldiging, en voldoet hij bovendien aan de distributieve wet. De additieve- en multiplicatieve identiteiten zijn beide gelijk aan 0. Op gelijke wijze is de additieve inverse van 0 gelijk aan 0. De triviale ring is de nulring.

Basisconcepten[bewerken]

Deelring[bewerken]

Informeel gesproken is een deelring van een ring een andere ring, die 'dezelfde' operaties gebruikt en die tevens deel uitmaakt van die andere ring. Meer formeel, veronderstel dat (R, +, ·) een ring is en dat S een deelverzameling van R is zodanig dat

  • voor elke a, b in S, a + b is in S;
  • voor elke a, b in S, a · b is in S;
  • voor elke a in S, de additieve inverse −a van a is in S; en
  • de multiplicatieve identiteit '1' van R is in S.

Laat '+S' en '·S' de operaties '+' en '·' aanduiden, beperkt op S×S. Dan is (S, +S, ·S) een deelring van (R, +, ·). Aangezien de beperkte operaties volledig worden bepaald door S en de oorspronkelijke, wordt de deelring vaak ook geschreven als (S, +, ·).

Een deelring van de complexe getalring C is bijvoorbeeld enige deelverzameling van C, die 1 bevat en die gesloten is onder toevoeging, vermenigvuldigen en ontkenning, zoals:

Als A een deelring van R is, en B is een deelverzameling van A, zodanig dat B ook een deelring van R is, dan is B een deelring van A.

Ringhomomorfisme[bewerken]

Een homomorfisme van een ring (R, +,·) naar een ring (S, ‡, *) is een functie f van R naar S die commuteert met de ringoperaties; namelijk, zo dat voor alle a, b in R de twee onderstaande identiteiten van toepassing zijn

  • f(a + b) = f(a) ‡ f(b)
  • f(a · b) = f(a) * f(b)

Bovendien moet de functie f het identiteitselement 1R van '·' naar het identiteitselement 1S van '*' nemen.

De functie die bijvoorbeeld elk geheel getal x op haar rest modulo 4 afbeeldt (een getal in {0, 1, 2, 3}), is een homomorfisme van de ring Z naar de ring Z4.

Als f een ringhomomorfisme van (R, +, ·) naar (S, ‡, *) is, is de inverse afbeelding van het identiteitselement 1Svan ‡ (dat wil zeggen alle elementen van R die door f worden afgebeeld op 1S) is een deelring (R, +, ·).

Van een ringhomomorfisme zegt men dat dit een isomorfisme is, als het in de categorie van ringen zowel een epimorfisme als een monomorfisme is.

Geschiedenis[bewerken]

Een portret van Richard Dedekind: de grondlegger van de ringtheorie.
Nuvola single chevron right.svg Zie Ringtheorie#Geschiedenis voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De studie van de ringen was een loot afkomstig uit de theorie van de veeltermringen en de theorie van algebraïsche gehele getallen. Verder leidde het verschijnen van hypercomplexe getallen, vanaf het midden van de negentiende eeuw, ertoe, dat het primaat van velden in de wiskundige analyse werd afgezwakt.

Richard Dedekind (afbeelding rechts) introduceerde het concept van een ring[3]. De term ring (Zahlring) werd in 1892 door David Hilbert bedacht en gepubliceerd in zijn artikel Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897. Volgens Harvey Cohn, gebruikte Hilbert de term voor een specifieke ring die de eigenschap had om "direct terug te cirkelen" op een element van zichzelf.[4]

De eerste axiomatische definitie van een ring werd door Adolf Fraenkel gegeven in een essay in de Journal für die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914.[3] In 1921 gaf Emmy Noether de eerste axiomatische fundering van de theorie van de commutatieve ringen in haar monumentale artikel Ideal Theory in Rings (Ideaaltheorie in ringen).[3]

Voorbeelden van ringen[bewerken]

Bijzondere ringen[bewerken]

Als de vermenigvuldiging eveneens commutatief is (a×b = b×a), spreken we van een commutatieve ring. Als er een element 1 van de ring bestaat met de eigenschap dat 1×a = a = a×1 voor elke a uit de ring, is e een eenheidselement of identiteit van de ring. Zo'n ring heet een unitaire ring. Volgens sommige wiskundigen 'hoort' een ring echter (per definitie) een eenheidselement te hebben. De verzameling even gehele getallen met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging is een voorbeeld van een commutatieve ring zonder eenheidselement.

Het is in een ring mogelijk dat het product van twee elementen a en b beide ongelijk aan 0, toch gelijk is aan 0. Zulke elementen worden nuldelers genoemd.

Een commutatieve ring zonder nuldelers noemt men een integriteitsdomein.

Een lichaam is een speciaal geval van een commutatieve ring zonder nuldelers.

idealen zijn deelgroepen van een ring die stabiel blijven onder vermenigvuldiging met willekeurige elementen van de ring. Naargelang of sommige bijzondere eigenschappen van de idealen al dan niet gelden, identificeert men verschillende soorten ringen, zo onder meer:

Zie ook[bewerken]

Speciale soorten ringen:

Voetnoten[bewerken]

  1. , en wel zo dat vermenigvuldiging distribueert over optelling
  2. Herstein, 1964, §3, blz. 83
  3. a b c d [1]
  4. Cohn, Harvey, Advanced Number Theory, Dover Publications, New York, 1980, p. 49 ISBN 9780486640235.