Inverse element

In een monoïde $(V,*)$ met neutraal element $e$, heet het element $b$ een invers element of symmetrisch element van het element $a$ als geldt:

$b*a=e=a*b$

Het inverse element is eenduidig bepaald, want stel dat $b$ en $c$ beide inverse elementen zijn van $a$, dan is:

$c=c*e=c*a*b=e*b=b$

Het is daarom gebruikelijk het inverse element van $a$ aan te duiden als $a^{-1}$.

Eigenschappen

Uit de definitie volgt dat het element $a$ de inverse is van $a^{-1}$.

De inverse van $a*b$ is $b^{-1}*a^{-1}$ Immers $a*(b*b^{-1})*a^{-1}=a*e*a^{-1}=a*a^{-1}=e$

Voorbeelden

• In de verzameling van de gehele getallen met de bewerking optellen is $-a$ het inverse element van $a$.

$5+(-5)=0$

• In de verzameling van de reële getallen zonder 0 met de bewerking vermenigvuldiging is $a^{-1}=1/a$ het inverse element van $a$.

$3\times {\tfrac {1}{3}}=1$

Zie ook

• Absorberend element
• Idempotent element
• Neutraal element