Cayley-tabel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de groepentheorie is een cayley-tabel een vierkante tabel waarin de structuur van een eindige groep wordt weergegeven door de resultaten van de bewerking tussen de elementen te tonen. Cayley-tabellen zijn genoemd naar de Engelse wiskundige Arthur Cayley. Een cayley-tabel is een Latijns vierkant.

Uit de cayley-tabel van een groep laten zich gemakkelijk allerlei eigenschappen van de groep afleiden, zoals of het een abelse groep is en welke het inverse is van een element. Het neutrale element kan in de tabel worden gevonden door een rij of kolom te zoeken die gelijk is aan de marge.

De groep met elementen en bewerking * wordt algemeen door een cayley-tabel voorgesteld als:

      

Aan de hand van deze tabel kunnen verschillende eigenschappen van een groep achterhaald worden.

Door de cayley-tabellen van twee groepen te vergelijken, is na te gaan of zij isomorf zijn.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

De verzameling {–1,1} met de bewerking vermenigvuldiging "×" heeft de cayley-tabel:

× –1  1
–1  1 –1
 1 –1  1
  • Het betreft een inwendig en overal gedefinieerde bewerking, alle elementen in de tabel zijn immers element van {–1,1}.
  • Het neutrale element is 1.
  • 1 en –1 zijn de inverse van zichzelf.
  • De groep is commutatief: de tabel is immers symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal.

De groep {0, 1, 2} met als bewerking "+ modulo 3" heeft als cayley-tabel:

  +     0     1     2  
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
  • Deze groep is commutatief. 0 is het neutrale element en 1 en 2 zijn elkaars inverse, in dit geval elkaars tegengestelde.