Cyclische groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De 6-e complexe eenheidswortels vormen een cyclische groep onder vermenigvuldiging. is een primitief element, maar is dit niet, omdat de oneven machten van geen macht van zijn.

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclische groep een groep die kan worden voortgebracht door één enkel element, voortbrenger geheten. Dat houdt in dat bij een multiplicatieve schrijfwijze, elk element van de groep een macht is van de voortbrenger (als de notatie additief is, een veelvoud van de voortbrenger).

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een groep wordt cyclisch genoemd als er een element is zodanig dat

Daarin is

Aangezien een groep die voortgebracht wordt door een element in die groep, een deelgroep van die groep is, volstaat het te laten zien dat er een element bestaat zodanig dat zelf de enige deelgroep is die bevat.

Als bijvoorbeeld een groep is van 6 elementen, dan is en is cyclisch. In feite is qua groepsstructuur in essentie hetzelfde als (dat wil zeggen, isomorf met) de verzameling {0, 1, 2, 3, 4, 5} met optelling modulo 6. Zo correspondeert 1 + 2 = 3 (mod 6) met en 2 + 5 = 1 (mod 6) met . Men kan gebruikmaken van het isomorfisme gedefinieerd door .

Voor elk positief geheel getal is er precies één cyclische groep ("upto" isomorfisme), waarvan de orde is, en is er precies één oneindige cyclische groep (de gehele getallen onder optelling). Vandaar dat de cyclische groepen de eenvoudigste groepen zijn en zij ook volledig zijn geclassificeerd.

De naam 'cyclisch' kan misleidend zijn: het is mogelijk om oneindig veel elementen voort te brengen zonder letterlijke cycli te vormen; dat wil zeggen, elke is verschillend. (Men kan zeggen dat het een oneindig lange cyclus heeft.) In dat geval moet men ook negatieve waarden van in aanmerking nemen, dit geeft andere elementen. Een groep die op deze manier is voortgebracht wordt een oneindige cyclische groep genoemd en deze groep is isomorf met de additieve groep van gehele getallen .

Verder is de cirkelgroep (waarvan het aantal elementen overaftelbaar is) geen cyclische groep - een cyclische groep heeft namelijk altijd aftelbare elementen.

Aangezien de cyclische groepen abels zijn, worden zij vaak additief geschreven en aangeduid door . Deze notatie kan echter problematisch zijn voor getaltheoretici, omdat zij in strijd is met de gebruikelijke notatie voor -adische getallenringen van lokalisatie van een priemideaal. De quotiëntgroep is een alternatief.

Men kan de groep multiplicatief beschrijven, en de groep aangeven door , waarin de orde is (die ook kan zijn). Bijvoorbeeld is in , met als voortbrenger: , terwijl 3 + 4 = 2 in .

Cyclische groepen zijn de eenvoudigste groepen. Er is voor ieder natuurlijk getal een cyclische groep van die orde en er is een oneindige cyclische groep, de optelgroep van de gehele getallen. Elke andere cyclische groep is met een van deze isomorf. Elke cyclische groep is commutatief.

Cyclische puntgroepen in twee en drie dimensies[bewerken | brontekst bewerken]

Bij eindige symmetriegroepen in drie dimensies worden vaak aparte notaties gebruikt voor rotatiegroepen en abstracte cyclische groepen, bijvoorbeeld respectievelijk en . De reden is dat zowel in twee als in drie dimensies verschillende symmetriegroepen als abstracte groep gelijk zijn, in twee dimensies zijn en als abstracte groep gelijk aan ekaar () en in drie dimensies zijn onder meer en als abstracte groep aan elkaar gelijk (), en en ook ().

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Een voorbeeld van een cyclische groep is (), die bestaat uit de getallen met als groepsbewerking de optelling modulo 10. Deze groep kan worden voortgebracht door het element 3.

3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 + 3 = 12 = 2 mod 10
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11 = 1 mod 10
1 + 3 = 4
4 + 3 = 7
7 + 3 = 0
0 + 3 = 3

Zo zijn alle elementen binnen de groep gevormd.

Een ander voorbeeld van een eindige cyclische groep is de groep van rotaties van een regelmatige veelhoek. Een dergelijke cyclische groep is dus een rotatiegroep. Bijvoorbeeld zijn er vijf rotaties, waaronder de identiteit, die de regelmatige vijfhoek op zichzelf afbeeldt.