Eenheidswortel

De drie 3e eenheidswortels in het complexe vlak

Plot van $z^{3}-1$

■ nulpunt

Plot van $z^{5}-1$

In de wiskunde zijn voor een gegeven positief geheel getal $n$ de complexe $n$-de eenheidswortels alle complexe getallen die 1 opleveren, als zij tot de macht $n$ worden verheven. De eenheidswortels worden ook de Moivre-getallen genoemd, naar Abraham de Moivre. In een commutatieve ring met eenheid een wordt op dezelfde wijze een eenheidswortel gedefinieerd.

De complexe $n$-de eenheidswortels liggen op de eenheidscirkel van het complexe vlak en zij vormen in dat vlak $n$-zijdige regelmatige veelhoeken met een hoekpunt op 1 en het middelpunt op 0. De $n$-de eenheidswortels zijn een nulpunt van $z^{n}-1$.

Definitie

In een commutatieve ring $R$ met eenheid heet een element $\zeta \in R$ een $n$-de eenheidswortel, als $\zeta ^{n}=1$, of anders gezegd, als $\zeta$ een nulpunt is van $x^{n}-1$.

Een $n$-de eenheidswortel $\zeta$ wordt primitief genoemd, als $\zeta ^{k}\neq 1$ voor $k=1,\ldots ,n-1$. De primitieve $n$-de eenheidswortels zijn die $\zeta ^{k}$, waarvoor $k$ en $n$ relatief priem zijn.

De $n$-de eenheidswortels in $R$ vormen een ondergroep van de vermenigvuldigingsgroep $R^{\times }$, die vaak met $\mu _{n}(R)$ wordt aangegeven. Deze groep is een abelse groep en wordt een cirkelgroep genoemd.

De complexe $n$-de eenheidswortels zijn de $n$ complexe getallen

$\exp \left(2\pi i{\frac {k}{n}}\right)=\cos \left(2\pi {\frac {k}{n}}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {k}{n}}\right),\qquad k=0,1,\ldots ,n-1$

Voorbeeld

De drie 3e eenheidswortels zijn geschreven met de stelling van De Moivre:

$1,\ e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\$ en $\ e^{\frac {-2i\pi }{3}}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$

Literatuur

• Lang, Serge (2002), Algebra, revised 3rd edition. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95385-X.
• Milne, James S., Algebraic Number Theory. Course Notes (1998).
• Milne, James S., Class Field Theory. Course Notes (1997).
• Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C. (1997), Cyclotomic fields, 2nd edition. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94762-0.