Nuldeler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de abstracte algebra heet een element van een ring een nuldeler als het element zelf niet 0 is en het vermenigvuldigd met een (ander) element ongelijk 0 als product 0 oplevert. Een nuldeler is als het ware een deler van 0. Onderscheiden worden linker nuldelers en rechter nuldelers al naargelang de nuldeler de linker dan wel de rechter factor in het product is. Is een element zowel linker als rechter nuldeler, dan wordt het gewoon een nuldeler genoemd. Als de vermenigvuldiging binnen de ring commutatief is, is elke linker of rechter nuldeler een nuldeler. Een element van een ring ongelijk aan nul dat noch een linker, noch een rechter nuldeler is, wordt regulier genoemd.

Definitie[bewerken]

Een element van een ring heet een linker nuldeler als er een , zo, dat

Analoog heet een rechter nuldeler als er een , zo, dat

Is zowel een linker als een rechter nuldeler, dan heet a nuldeler.

Voorbeelden[bewerken]

  • De ring van de gehele getallen heeft geen nuldelers.
  • Bij het modulair rekenen vormen de getallen een ring. Als een priemgetal of een macht van een priemgetal is, is zelfs een lichaam/veld en zijn er geen nuldelers. In alle andere gevallen zijn de echte delers van nuldelers. Modulo 12 bijvoorbeeld zijn de getallen 2, 3, 4 en 6 echte delers van 12 en dus nuldelers:
  • Een voorbeeld van een nuldeler in de ring van de 2×2-matrices is de matrix

omdat bijvoorbeeld

  • Meer in het algemeen vallen in de ring van -matrices over een willekeurig lichaam/veld de linker en rechter nuldelers samen; zij zijn precies de niet-nulzijnde singuliere matrices. In de ring van de -matrices over een willekeurig integriteitsdomein zijn de nuldelers precies de niet-nulzijnde matrices met determinant nul.
  • De onderstaande ring bevat met elementen die slechts eenzijdige nuldelers zijn. Laat de verzameling zijn van rijen gehele getallen Neem voor de ring alle additieve afbeeldingen van op , met puntsgewijze optelling en compositie als de ringbewerkingen. De ring is dus , de endomorfismen van de additieve groep Drie elementen in deze ring zijn de rechtsverschuiving de linksverschuiving en een projectie Al deze drie additieve afbeeldingen zijn ongelijk aan nul, maar de composities en zijn beide nul, zodat een linker nuldeler en een rechter nuldeler is in de ring van de additieve afbeeldingen op . De afbeelding is echter geen rechter nuldeler en geen linker nuldeler. De compositie is de identiteit, en als dus een willekeurige additieve afbeelding van op voldoet aan dan volgt en op dezelfde wijze volgt uit dat
  • In het vorige voorbeeld is een linker nuldeler, want omdat maar noch een linker, noch een rechter nuldeler is, omdat
    De additieve afbeeldingen van naar kunnen voorgesteld worden als aftelbaar oneindige matrices. De matrix

bijvoorbeeld stelt de afbeelding voor en de getransponeerde matrix de rechtsverschuiving Dat de eenheidsmatrix is, is hetzelfde als te zeggen dat de identiteit is. De matrix is een linker nuldeler, maar niet een rechter nuldeler.

Eigenschappen[bewerken]

Linker en rechter nuldelers kunnen geen eenheid zijn. Immers, als een eenheid is, dan is voor alle

Elke idempotente is een nuldeler, aangezien , dus Nilpotente ringelementen ongelijk aan 0 zijn trivialerwijze nuldelers.

Een commutatieve ring met eenheidselement ongelijk aan 0 en zonder nuldelers wordt een integriteitsdomein genoemd.

Nuldelers komen ook voor onder de sedenionen, de 16-dimensionale hypercomplexe getallen onder de Cayley-Dickson-constructie.

Zie ook[bewerken]