Integriteitsdomein

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een integriteitsdomein, ook wel integriteitsgebied, integraaldomein of kortweg domein, een commutatieve ring, met de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen, waarbij het neutrale element 1 voor de vermenigvuldiging en 0 voor de optelling voldoen aan de volgende voorwaarden:

Merk op dat een integriteitsdomein voorkomt in de onderstaande keten van deelverzamelingen

Lichaam (Nederlands) en veld (Belgisch) zijn per definitie hetzelfde.

Voorbeelden en tegenvoorbeeld[bewerken]

  • In een lichaam is ieder element behalve 0 omkeerbaar voor de vermenigvuldiging en dan kunnen er geen nuldelers zijn. Wanneer a.b=0 en b is verschillend van 0, dan is a=a.b.b-1=0.b-1=0.
  • De gehele getallen van Gauss vormen een integriteitsdomein.
  • Als k een lichaam is, dan is de ring k[x1,...,xn] van de polynomen in n variabelen met coëfficiënten in k een integriteitsgebied.
  • Elke deelring met een eenheidselement van een integriteitsgebied is opnieuw een integriteitsgebied.
  • De ring \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} der restklassen modulo 6 is een commutatieve ring met eenheidselement, maar de restklassen van 2 en 3 zijn nuldelers:
\overline 2.\overline 3=\overline 6=\overline 0.

Elementaire kenmerkende eigenschappen[bewerken]

Een commutatieve ring met eenheidselement is een integriteitsdomein als en slechts als het ideaal (0) een priemideaal is.

Een commutatieve ring R met eenheidselement is een integriteitsdomein als voor ieder element r verschillend van 0, de vermenigvuldiging met r een injectieve transformatie is:

\forall r\in R\setminus\{0\},\forall a,b\in R:r \times a=r \times b\implies a=b

Een ring is een integriteitsdomein dan en slechts dan als het een deelring met eenheidselement is van een lichaam. Een dergelijk lichaam kan uitdrukkelijk geconstrueerd worden, zie hieronder bij Quotiëntenlichaam.

Voorbeeld[bewerken]

Het tegenvoorbeeld der restklassen modulo 6 hierboven is geen integriteitsdomein, omdat het ideaal der zesvouden geen priemideaal is.

Ringkarakteristiek[bewerken]

Iedere commutatieve ring met eenheidselement waarvan de karakteristiek n verschilt van 0, omvat de ring der restklassen modulo n als deelring. Hieruit volgt dat de karakteristiek van een integriteitsgebied ofwel 0, ofwel een priemgetal is.

Quotiëntenlichaam[bewerken]

In een integriteitsdomein kunnen we op een abstracte manier breuken definiëren, analoog met de constructie van de rationale getallen aan de hand van paren gehele getallen. Het resultaat is een lichaam dat het oorspronkelijke integriteitsgebied als deelring omvat, genaamd het quotiëntenlichaam of breukenlichaam van R.