Oneindigheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Het ∞ symbool in verschillende lettertypes.

Oneindigheid staat in de betekenis van niet-eindig tegenover het begrip eindig. Het is een begrip in de filosofie en de natuurwetenschappen (zie daarvoor ook universum). In de wis- en natuurkunde heeft oneindig een min of meer kwantitatieve betekenis en wordt als symbool voor oneindig een lemniscaat (∞) gebruikt (ongeveer een liggende acht, en daarom ook wel zo genoemd).

Definitie via kardinaalgetallen[bewerken]

In de wiskunde wordt oneindig soms beschouwd als een soort getal, maar dan een getal dat groter is dan elk reëel getal. Daarnaast bestaan er verschillende soorten oneindigheid, die worden aangegeven door verschillende zogenaamde kardinaalgetallen, die de mate van oneindigheid aangeven. Deze kardinaalgetallen worden aangegeven met de letter alef (), gevolgd door een geheel getal.

Een verzameling is oneindig als zij gelijkmachtig is met een echte deelverzameling, wat inhoudt dat er een een-op-eenrelatie is tussen die deelverzameling en de verzameling zelf.[1]

Iedere verzameling die gelijkmachtig is met een oneindige verzameling is zelf ook oneindig. Immers, als er een een-op-eenrelatie is tussen en een echte deelverzameling van is een echte deelverzameling van die een-op-een op zelf kan worden afgebeeld.

Een belangrijk voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling van de natuurlijke getallen: De afbeelding beeldt de natuurlijke getallen een-op-een af op de echte deelverzameling van de even getallen. Dus is de verzameling natuurlijke getallen, en daarmee ook de even getallen, oneindig.

Aftelbaar oneindig[bewerken]

Er zijn verschillende graden van oneindigheid. De kleinst denkbare oneindigheid is de oneindigheid van de natuurlijke getallen. Deze vorm van oneindigheid wordt aftelbare oneindigheid of discrete oneindigheid genoemd en aangeduid met het symbool (alef nul). Van verzamelingen die gelijkmachtig zijn met de natuurlijke getallen, zegt men dat ze de kardinaliteit ("aantal elementen") hebben, Voorbeelden zijn de gehele getallen de even getallen en de oneven getallen. Maar ook de rationale getallen en de algebraïsche getallen zijn aftelbaar oneindig.

De term 'aftelbaar oneindig' is gekozen omdat van elke verzameling die gelijkmachtig is met de natuurlijke getallen de elementen via de een-op-eenrelatie afgeteld kunnen worden. De elementen van een dergelijke verzameling kunnen dus achter elkaar worden gezet zodanig dat er een eerste getal is, een tweede getal, een derde getal enzovoort, waarbij de lijst alle elementen van de verzameling bevat en zo dus allemaal 'afgeteld' kunnen worden.

De rationale getallen kunnen bijvoorbeeld als volgt afgeteld worden:

Overaftelbaar[bewerken]

Als een verzameling oneindig veel elementen bevat, en er géén een-op-eenafbeelding construeerbaar is tussen deze verzameling en de natuurlijke getallen, hebben we te maken met een niet-aftelbaar oneindige verzameling, Bij iedere poging tot aftellen zijn er altijd elementen die niet geteld worden. De verzameling bevat wezenlijk meer elementen dan de natuurlijke getallen. Zo'n verzameling wordt overaftelbaar genoemd.

Een voorbeeld is de verzameling van de reële getallen. Georg Cantor, een 19e-eeuwse Duitse wiskundige die als een van de eersten het begrip oneindigheid grondig onderzocht, bewees dat de verzameling van de reële getallen 'groter' is dan de verzameling natuurlijke getallen, hoewel het aantal elementen van beide verzamelingen oneindig is. Dit deed hij met behulp van de zogenaamde diagonaalmethode.

Definitie via ordinaalgetallen[bewerken]

Zie Ordinaalgetal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De definitie van een ordinaal vertrekt van het begrip transitieve verzameling. Een verzameling heet transitief als elk van haar elementen er tevens een deelverzameling van vormt. Een voorbeeld van een transitieve verzameling is het paar omdat zowel de lege verzameling als het singleton dat bestaat uit de lege verzameling, er deelverzamelingen van zijn.

Een ordinaal is een transitieve verzameling die welgeordend wordt door de relatie is een element van.[2]

De natuurlijke getallen gedefinieerd volgens Zermelo-Fraenkel (ZF) zijn op die manier allemaal ordinalen. Het voorbeeld hierboven van de verzameling komt overeen met de ZF-definitie van het getal 2. Deze ordinalen worden eindige ordinalen genoemd, en alle andere ordinalen zijn oneindige ordinalen. De kleinste oneindige ordinaal is de verzameling der natuurlijke getallen zelf.

Men kan aantonen dat elke welgeordende verzameling precies één orde-isomorfisme heeft met precies één ordinaal.[2] Op die manier zijn ordinalen een manier om een 'aantal elementen' toe te kennen aan niet-eindige welgeordende verzamelingen, net zoals een natuurlijk getal het aantal elementen van een eindige verzameling bepaalt.

Het belangrijkste verschil met kardinaalgetallen is dat we een ordinaal toekennen aan een verzameling met een (wel)orderelatie, terwijl een kardinaalgetal hoort bij een verzameling zonder aanvullende structuur. In principe kan éénzelfde verzameling worden uitgerust met verschillende welordeningen, en als de oorspronkelijke verzameling oneindig is, zijn de daaruit voortkomende welgeordende verzamelingen niet noodzakelijk orde-isomorf; ze hebben dus niet noodzakelijk hetzelfde ordinaalgetal. Zo zijn er oneindig veel aftelbare ordinaalgetallen, terwijl alle aftelbare verzamelingen per definite dezelfde kardinaliteit hebben als de natuurlijke getallen.

Meetkundig oneindig[bewerken]

Oneindige kardinalen en ordinalen geven een precieze betekenis aan de vage intuïtie van oneindig als "zeer groot". In een meetkundige context treedt echter een andere intuïtie op van oneindig als "zeer ver weg". Daartoe worden bepaalde meetkundige objecten, zoals lijnen of vlakken, uitgebreid met nieuwe elementen die soms punten op oneindig heten.

Uitgebreide reële getallenlijn[bewerken]

Men breidt de reële getallen wel uit met de symbolen en met als resultaat de uitgebreide reële getallenlijn:

.

In het proces waarbij reële getallen door vervollediging van rationale getallen formeel worden geconstrueerd als equivalentieklassen van cauchyrijen, kan worden gedefinieerd als de verzameling rijen rationale getallen waarbij voor elke er een bestaat, zodanig dat voor alle geldt dat . Ook kan worden uitgegaan van de reële getallen, en kunnen deze via een vergelijkbare constructie uitgebreid worden. Op analoge wijze kan ook gedefinieerd worden.

Rekenen met oneindig[bewerken]

De rekenkundige operaties op de reële getallen kunnen deels worden uitgebreid tot operaties op de uitgebreide reële getallenlijn.

De optelling in is deels uitbreidbaar tot , maar daarmee is niet zoals een groep:

Verder:

Projectieve meetkunde[bewerken]

Voorstelling van de punten van het reële projectieve vlak als vectorrechten in de driedimensionale -coördinatenruimte. De rode vectorrechten zijn "gewone" of "eindige" punten in het vlak met vergelijking De blauwe vectorrechten snijden het vlak niet en vormen de rechte op oneindig

Zie Projectieve meetkunde voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De projectieve meetkunde maakt gebruik van modellen die bestaan uit "klassieke" affiene ruimten, uitgebreid met een stel punten op oneindig. We schetsen dit aan de hand van het reële projectieve vlak, maar dezelfde constructie geldt voor willekeurige dimensies en willekeurige lichamen. Definieer het projectieve vlak als de verzameling vectorrechten (ééndimensionale deelruimten) van projectieve punten genaamd. Een projectieve rechte is een vectorvlak (tweedimensionale deelruimte) en we zeggen dat een projectief punt tot een projectieve rechte behoort wanneer de vectorrechte een deel is van het vectorvlak.

Door nu een vast vlak in te kiezen dat niet door de oorsprong gaat, bekomen we een één-op-één-verband tussen dat vlak en een deel van het projectieve vlak. Door ieder punt van gaat namelijk precies één vectorrechte. Er zijn echter vectorrechten die nergens snijden omdat ze ermee evenwijdig lopen: dit zijn de "punten op oneindig" die met deze keuze van overeenkomen. Ze vormen samen één projectieve rechte, namelijk het unieke vectorvlak dat evenwijdig loopt met

Topologische ruimten met oneindig als element[bewerken]

Topologische uitbreidingen van de reële getallen[bewerken]

De uitgebreide reële getallenlijn kan voorzien worden van de topologie van een gesloten interval, zo dat het normale limietbegrip voor een rij in die topologische ruimte kan worden toegepast voor convergentie naar en Dit is het geval bij de topologie die voor een gegeven begrensde strikt stijgende continue functie , uitgebreid tot een functie op met gesteld op en op , wordt geïnduceerd door de metriek waarbij de afstand van tot gelijk is aan . Deze topologie is onafhankelijk van . Met deze topologie is elk van deze functies continu op . Zoals de notatie al suggereert is in deze topologische ruimte de hele ruimte de afsluiting van .

Een andere benadering stelt en aan elkaar gelijk, zie reële projectieve lijn, met als topologie die van een cirkel. Convergentie in deze ruimte naar ∞ van een rij komt overeen met convergentie in de bovengenoemde naar ∞ van de rij van absolute waarden. Ook in deze topologische ruimte is de hele ruimte de afsluiting van . Afhankelijk van de context moet men hier echter voorzichtig zijn met de notatie , omdat die al voor de bovengenoemde ruimte wordt gebruikt. Ter onderscheiding wordt hier wel de notatie gebruikt.

Nog even de homeomorfismen samengevat: is homeomorf aan een open interval, is homeomorf aan een gesloten interval, en is homeomorf aan een cirkel.

De totale orde van kan op natuurlijke wijze uitgebreid worden tot , maar niet tot .

Compactificatie[bewerken]

De hierboven beschreven uitbreidingen van zijn voorbeelden van compactificaties. Een compactificatie van een topologische ruimte is een topologische inbedding van die ruimte met de eigenschap dat het beeld van de inbedding dicht is in de doelruimte. Zo kan het voorbeeld van hierboven worden gemodelleerd met de inbedding arctan van de reële getallen in het (compacte) interval Het bereik van de boogtangensfunctie is het open interval en dat is op zijn beurt een dichte deelverzameling van het gesloten interval

De zogenaamde Alexandrov-compactificatie of eenpuntscompactifiatie voegt aan iedere topologische ruimte een punt toe. Als de oorspronkelijke ruimte niet compact was, dan is een afsluitingspunt van in Toegepast op de reële getallen levert dit een ruimte op die homeomorf (topologisch gelijkwaardig) is met . Toegepast op het reële vlak wat topologisch op hetzelfde neerkomt als de verzameling der complexe getallen levert dit de complexe projectieve rechte op, ook bekend als de Riemann-sfeer.

Zie ook[bewerken]