Oneindigheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het ∞ symbool in verscheidene lettertypes.

Oneindigheid staat in de betekenis van niet-eindig tegenover het begrip eindig. Het is een begrip in de filosofie en de natuurwetenschappen (zie daarvoor ook universum). In de wis- en natuurkunde heeft oneindig een min of meer kwantitatieve betekenis en wordt als symbool voor oneindig een lemniscaat (∞) gebruikt (ongeveer een liggende acht, en daarom ook wel zo genoemd).

Definitie en eigenschappen[bewerken]

In de wiskunde wordt oneindig soms beschouwd als een soort getal, maar dan een getal dat groter is dan elk reëel getal. Daarnaast bestaan er verschillende soorten oneindigheid, die worden aangegeven door verschillende zogenaamde kardinaalgetallen, die de mate van oneindigheid aangeven. Deze kardinaalgetallen worden aangegeven met de letter alef (), gevolgd door een geheel getal.

Een verzameling is oneindig als zij gelijkmachtig is met een echte deelverzameling, wat inhoudt dat er een een-op-eenrelatie is tussen die deelverzameling en de verzameling zelf.[1]

Iedere verzameling X die gelijkmachtig is met een oneindige verzameling U, is zelf ook oneindig. Immers, wanneer er een een-op-eenrelatie f is tussen U en een echte deelverzameling V van U, is f(V) een echte deelverzameling van X die een-op-een op X zelf kan worden afgebeeld.

Een belangrijk voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling van de natuurlijke getallen: {0, 1, 2, ...}. De afbeelding beeldt de natuurlijke getallen een-op-een af op de echte deelverzameling {0, 2, 4, ...} van de even getallen. Dus is de verzameling natuurlijke getallen, en daarmee ook de even getallen, oneindig.

Aftelbaar oneindig[bewerken]

Er zijn verschillende graden van oneindigheid. De kleinst denkbare oneindigheid is de oneindigheid van de natuurlijke getallen. Deze vorm van oneindigheid wordt aftelbare oneindigheid of discrete oneindigheid genoemd en aangeduid met het symbool (alef nul). Van verzamelingen die gelijkmachtig zijn met de natuurlijke getallen, zegt men dat ze de kardinaliteit ("aantal elementen") hebben, Voorbeelden zijn de gehele getallen (), de even getallen en de oneven getallen. Maar ook de rationale getallen () en de algebraïsche getallen () zijn aftelbaar oneindig.

De term 'aftelbaar oneindig' is gekozen omdat van elke verzameling die gelijkmachtig is met de natuurlijke getallen de elementen via de een-op-eenrelatie afgeteld kunnen worden. De elementen van een dergelijke verzameling kunnen dus achter elkaar worden gezet zodanig dat er een eerste getal is, een tweede getal, een derde getal enzovoort, waarbij de lijst alle elementen van de verzameling bevat en zo dus allemaal 'afgeteld' kunnen worden.

De rationale getallen kunnen bijvoorbeeld als volgt afgeteld worden:

Overaftelbaar[bewerken]

Als een verzameling oneindig veel elementen bevat, en er géén een-op-eenafbeelding construeerbaar is tussen deze verzameling en de natuurlijke getallen, hebben we te maken met een niet-aftelbaar oneindige verzameling, Bij iedere poging tot aftellen zijn er altijd elementen die niet geteld worden. De verzameling bevat wezenlijk meer elementen dan de natuurlijke getallen. Zo'n verzameling wordt overaftelbaar genoemd.

Een voorbeeld is de verzameling van de reële getallen. Georg Cantor, een 19e-eeuwse Duitse wiskundige die als een van de eersten het begrip oneindigheid grondig onderzocht, bewees dat de verzameling van de reële getallen 'groter' is dan de verzameling natuurlijke getallen, hoewel het aantal elementen van beide verzamelingen oneindig is. Dit deed hij met behulp van de zogenaamde diagonaalmethode.

Uitgebreide reële getallenlijn[bewerken]

Men breidt de reële getallen wel uit met de symbolen (+)∞ en –∞, met als resultaat de uitgebreide reële getallenlijn:

.

In het proces waarbij reële getallen door vervollediging van rationale getallen formeel worden geconstrueerd als equivalentieklassen van cauchyrijen, kan ∞ worden gedefinieerd als de verzameling rijen rationale getallen waarbij voor elke N er een n bestaat, zodanig dat voor alle geldt dat , en -∞ analoog. Ook kan worden uitgegaan van de reële getallen, en kunnen deze via een vergelijkbare constructie uitgebreid worden door ∞ te definiëren als de verzameling rijen reële getallen waarbij voor elke N er een n bestaat, zodanig dat voor alle , en -∞ analoog.

Rekenen met oneindig[bewerken]

De rekenkundige operaties op de reële getallen kunnen deels worden uitgebreid tot operaties op de uitgebreide reële getallenlijn.

De optelling in is deels uitbreidbaar tot , maar daarmee is niet zoals een groep:

Verder:

Topologische ruimten met oneindig als element[bewerken]

De uitgebreide reële getallenlijn kan voorzien worden van de topologie van een gesloten interval, zo dat het normale limietbegrip voor een rij in die topologische ruimte kan worden toegepast voor convergentie naar ∞ en –∞. Dit is het geval bij de topologie die voor een gegeven begrensde strikt stijgende continue functie , uitgebreid tot een functie op met gesteld op en op , wordt geïnduceerd door de metriek waarbij de afstand van a tot b gelijk is aan . Deze topologie is onafhankelijk van . Met deze topologie is elk van deze functies continu op . Zoals de notatie al suggereert is in deze topologische ruimte de hele ruimte de afsluiting van .

Een andere benadering stelt en aan elkaar gelijk, zie reële projectieve lijn, met als topologie die van een cirkel. Convergentie in deze ruimte naar ∞ van een rij komt overeen met convergentie in de bovengenoemde naar ∞ van de rij van absolute waarden. Ook in deze topologische ruimte is de hele ruimte de afsluiting van . Afhankelijk van de context moet men hier echter voorzichtig zijn met de notatie , omdat die al voor de bovengenoemde ruimte wordt gebruikt. Ter onderscheiding wordt hier wel de notatie gebruikt.

Nog even de homeomorfismen samengevat: is homeomorf aan een open interval, is homeomorf aan een gesloten interval, en is homeomorf aan een cirkel.

De totale orde van kan op natuurlijke wijze uitgebreid worden tot , maar niet tot .

Zie ook[bewerken]