Topologische inbedding

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een inbedding een identificatie van een topologische ruimte met een deel van een andere topologische ruimte.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een inbedding is een afbeelding tussen topologische ruimten zodanig dat de beperking van tot haar bereik opgevat als deelruimte van een homeomorfisme is. Hieruit volgt vanzelf dat elke inbedding injectief en continu is.

Het bestaan van een inbedding maakt het mogelijk over te spreken alsof ze een deelruimte "is" van

Equivalentie van inbeddingen[bewerken | brontekst bewerken]

Twee inbeddingen en van eenzelfde ruimte in heten equivalent als er een homeomorfisme tussen en zichzelf bestaat dat de ene inbedding in de andere overvoert:

Dit definieert een equivalentierelatie op de verzameling van alle inbeddingen van in

Het algemene probleem van topologische inbeddingen luidt: gegeven twee topologische ruimten en , beschrijf alle equivalentieklassen van inbeddigen van in [1]

Isotopische equivalentie[bewerken | brontekst bewerken]

Een isotopie van een topologische ruimte is een continue afbeelding

zodat voor elke afzonderlijk de partiële afbeelding

een homeomorfisme is. Een gegeven homeomorfisme is realiseerbaar door een isotopie als er een isotopie bestaat waarvoor de identiteit is, en

Twee inbeddingen heten isotopisch equivalent als er een dergelijk homeomorfisme bestaat met Isotopisch equivalente inbeddingen zijn equivalent, maar het omgekeerde hoeft niet waar te zijn. Isotopische equivalentie is eveneens een equivalentierelatie. Een fijnere formulering van het algemene probleem van topologische inbeddingen luidt dan: gegeven twee topologische ruimten en , beschrijf alle isotopische equivalentieklassen van inbeddigen van in [1]

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  • De inbeddingen van een singleton in de reële getallen met de gewone topologie zijn de reële constanten. Elk paar van dergelijke inbeddingen is isotopisch equivalent door de continue verschuiving
  • De inbeddingen van een eindige verzameling met de discrete topologie in de reële getallen zijn de geordende tupels van onderling verschillende reële getallen. Twee van dergelijke inbeddingen zijn alleen isotopisch equivalent als de twee -tupels dezelfde volgorde hanteren; de isotopische equivalentieklassen komen dus overeen met de permutaties op elementen.
De reële getallen hebben ook een auto-homeomorfisme dat niet realiseerbaar is door isotopie, namelijk de tekeninversie De gewone (t.t.z. niet noodzakelijk isotopische) equivalentieklassen van inbeddingen van komen dus overeen met de permutaties op elementen modulo de omkering van de volgorde.
  • De stelling van Schoenflies zegt dat alle inbeddingen van de cirkel in het vlak equivalent zijn.
  • Het vorige voorbeeld kan niet zonder meer veralgemeend worden tot inbeddingen van de -sfeer in de -dimensionale Euclidische ruimte De sfeer van Alexander is een inbedding van in waarvan het buitengebied niet homeomorf is met het buitengebied van de eenheidssfeer zelf, opgevat als deelverzameling van

Knopentheorie[bewerken | brontekst bewerken]

Een knoop is een inbedding van de cirkel in de driedimensionale Euclidische ruimte De knopentheorie onderzoekt isotopische equivalentieklassen van knopen.