Continue functie (topologie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie en aanverwante gebieden binnen de wiskunde is een continue functie een morfisme tussen topologische ruimten. Intuïtief is het een functie waar een verzameling van punten dicht bij altijd het beeld van een verzameling van punten dicht bij bevat. Voor een algemene topologische ruimte betekent dit dat een omgeving van altijd het beeld van een omgeving van bevat.

Dat houdt in dat in een metrische ruimte, zoals de reële getallen, de punten binnen een gegeven afstand van altijd de beelden van alle punten binnen een zekere afstand van bevatten; dit wordt geformuleerd in de ε-δ definitie.

Definities[bewerken]

Er bestaan verschillende equivalente definities van een topologische ruimte, en dus zijn er ook verschillende equivalente manieren om een continue functie te definiëren.

Definities met open en gesloten verzamelingen[bewerken]

De meest gangbare notie van continuïteit in de topologie definieert continue functies als die functies waarvan de originelen van open verzamelingen ook open zijn. Vergelijkbaar met de formulering in termen van open verzamelingen is die voor met gesloten verzamelingen, die stelt dat de orignelen van gesloten verzamelingen ook gesloten zijn.

Definities gebaseerd op originelen zijn vaak moeilijk direct te gebruiken. Er is ook een definitie met behulp van omgevingen.

Definitie met omgevingen[bewerken]

Een functie van de topologische ruimte naar de topologische ruimte heet continu in , voor enige , als voor elke omgeving van er een omgeving van bestaat zodanig dat . Als continu is op elke , dan zeggen we simpelweg dat continu is.

Hoewel deze definitie ingewikkeld lijkt, wordt hier intuïtief beweerd dat hoe "klein" ook mag worden, wij altijd een , met daarin , kunnen vinden die daarbinnen wordt afgebeeld.

Continuïteit van een functie op een punt

In een metrische ruimte zijn de open ballen, rond en de omgevingen. Dit leidt tot de standaard ε-δ-definitie van een continue functie uit de reële analyse, die ruwweg zegt dat een functie continu is, indien alle punten dicht bij op punten dicht bij afgebeeld worden. Deze omschrijving heeft alleen betekenis in een metrische ruimte, waar een begrip afstand is gedefinieerd.

Is de beeldruimte een Hausdorff-ruimte, dan is continu in is dan en slechts dan als de limiet van , wanneer tot nadert, gelijk is . Op een geïsoleerd punt is iedere functie continu.