Evenwijdig

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de euclidische meetkunde heten twee lijnen, twee vlakken of een lijn en een vlak evenwijdig of parallel als zij overal even ver ('even wijd') van elkaar verwijderd zijn. Om aan te geven dat twee lijnen, een lijn en een vlak of twee vlakken evenwijdig zijn, wordt het teken gebruikt. Als de twee lijnen en evenwijdig zijn, wordt dat genoteerd als . Als een van de weinige West-Europese talen heeft het Nederlands voor evenwijdig een eigen woord, bedacht door Simon Stevin (1548-1620). Andere West-Europese talen hebben meestal een woord dat van het Oudgriekse παράλληλος, par-allè-los, parallel, komt, dat 'naast elkaar' betekent.[1]

Twee lijnen in het platte vlak[bewerken | brontekst bewerken]

Voor de ligging van twee lijnen in een plat vlak zijn er drie mogelijkheden. Ze hebben:

  • twee punten gemeenschappelijk, de lijnen vallen in dat geval samen,
  • precies één punt gemeen, de lijnen snijden elkaar,
  • geen punten gemeen, ze zijn evenwijdig.

In de euclidische meetkunde luidt het axioma van Playfair, dat equivalent is met het vijfde postulaat van Eucides:

Door een punt buiten een oneindig lange rechte lijn gaat precies één oneindig lange lijn die de eerste niet snijdt.

Als is gegeven dat twee lijnen evenwijdig zijn en er is een derde lijn die beide lijnen snijdt, zijn er enkele hoeken gelijk, namelijk de F- en Z-hoeken.

Twee lijnen in de ruimte[bewerken | brontekst bewerken]

Figuur 1. Twee kruisende lijnen

Als in de driedimensionale euclidische ruimte twee lijnen evenwijdig zijn, is er een vlak waarin beide lijnen liggen. Lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen, kruisen elkaar.

Lijn evenwijdig met vlak, vlak evenwijdig met vlak[bewerken | brontekst bewerken]

De definities worden in de euclidische ruimte op dezelfde manier gegeven als in het euclidische vlak:

  • een lijn en een vlak heten evenwijdig als alle punten op de lijn even ver van het vlak af liggen en
  • twee vlakken heten evenwijdig als ze overal even ver van elkaar af liggen.

Als de vlakken en niet evenwijdig zijn, snijden ze elkaar en hebben ze een lijn gemeenschappelijk, hun snijlijn. Als er behalve de gevonden snijlijn nog een gemeenschappelijk punt is, dan volgt uit enkele axioma's uit de stereometrie dat de vlakkken en samenvallen.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Tweedimensionaal
  • twee lijnen die loodrecht staan op dezelfde lijn, zijn evenwijdig (stelling);
  • de lijn door de middens van twee zijden van een driehoek is evenwijdig met de (drager van de)[2] derde zijde van die driehoek (stelling);
  • de (dragers van de) zijden van een parallellogram zijn twee aan twee evenwijdig (definitie); en daarmee ook, twee aan twee, de zijden van een rechthoek en een vierkant;
  • een regelmatige zeshoek heeft drie paar evenwijdige zijden (stelling);
  • (buiten de wiskunde) de notenbalk op muziekpapier.

Parallelle lijnen.png
Figuur 2. Evenwijdigheid wordt in figuren soms benadrukt met pijlen

Driedimensionaal
  • twee lijnen die loodrecht staan op hetzelfde vlak, zijn evenwijdig (stelling);
  • de (dragers van de) ribben van een prisma zijn evenwijdig (definitie) en daarmee ook de ribben van de lichamen blok en balk;
  • de beschrijvenden van een cilindervlak zijn evenwijdig (definitie);
  • bij een rechte cirkelcilinder zijn de doorsneden van het cilindervlak met een vlak loodrecht op de as evenwijdige cirkels (stelling);
  • de zijvlakken van een kubus zijn twee aan twee evenwijdig.
  • (buiten de wiskunde): buiten- en binnenmuur van een gebouw, glasplaten bij dubbelglas;, schappen in een boekenkast.

Twee eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Figuur 3. Lengte van het loodrechte verbindingslijnstuk
Figuur 4. Lijn evenwijdig met een vlak
  • De lengte van het loodrechte verbindingslijnstuk van een punt op een lijn met een punt op een daarmee evenwijdige lijn is voor alle punten van die lijn gelijk (informeel: twee evenwijdige lijnen hebben overal dezelfde afstand).

In figuur 3 zijn de lijnen en evenwijdig. is een punt van en is een willekeurig ander punt van . De lijnstukken en staan loodrecht op . Dus staan beide lijnstukken ook loodrecht op (F- en Z-hoeken). De vierhoek is dus een rechthoek, zodat .

  • Een lijn die evenwijdig is aan een vlak , is evenwijdig met een lijn in .

In figuur 4 is een vlak door dat snijdt. De snijlijn van en is . Omdat is, heeft geen punt gemeen met . heeft dus ook geen punt gemeen met , maar ligt wel met in hetzelfde vlak . Dus .

Berekenen van de afstand[bewerken | brontekst bewerken]

Zoals uit de bovengenoemde eigenschap blijkt, hebben evenwijdige lijnen een onderlinge afstand. Als de evenwijdige lijnen en in een standaard -assenstelsel gegeven zijn door de vergelijkingen:

kan de onderlinge afstand , de lengte van een loodrecht verbindingslijnstuk, berekend worden. De coördinaten van de eindpunten en van zo'n lijnstuk waarvan het verlengde door de oorsprong gaat, zijn de oplossingen van de stelsels vergelijkingen:

De tweede vergelijking van elk stelsel is de vergelijking van de door de oorsprong gaande drager van het loodlijnstuk.

De oplossingen zijn:

met

Daaruit volgt:

In de vergelijkingen van de lijnen en hierboven is het getal – de vermenigvuldigingsfactor van – de richtingscoëfficiënt die de richting van de lijnen bepaalt. Omdat hebben de lijnen dezelfde richting.

Bijzonderheden[bewerken | brontekst bewerken]

  • Bij bepaalde meetkundige (ook euclidische) configuraties is het soms handig af te spreken dat twee evenwijdige lijnen elkaar in het oneindige snijden, een oneigenlijk snijpunt hebben. Dit is gebaseerd op het verschijnsel dat de hoek tussen twee elkaar snijdende lijnen steeds kleiner wordt naarmate die lijnen de evenwijdige positie naderen. Daarbij komt het hoekpunt steeds verder weg te liggen. Via de limiet, bij evenwijdigheid, komt het punt dan in het oneindige te liggen.

Parallel in het oneindige.png
Figuur 5. Als de hoek (groen hoekpunt) tussen twee lijnen kleiner wordt, dan gaat het hoekpunt naar oneindig.

  • Evenwijdige lijnen lijken elkaar in lijnperspectief ook te snijden in het verdwijnpunt.

Krommen[bewerken | brontekst bewerken]

Figuur 6. Huygenscirkels
Figuur 7. Twee parallelkrommen van

Bij krommen, kromme lijnen, kan evenwijdigheid ook aan de orde komen. Daarbij is evenwel het ontbreken van snijpunten niet voldoende: een parabool en een cirkel die daar geheel binnen ligt worden niet evenwijdig genoemd. Daarom is het gebruikelijk ook de afstand van een punt tot een kromme erbij te betrekken. De conflictlijn van twee disjuncte vlakke krommen is de kromme die uit de punten bestaat, die tot beide krommen dezelfde afstand hebben. in formule:[3]

Het vinden van de waarde van is in de praktijk soms een probleem. Er kan evenwel gebruik gemaakt worden van huygenscirkels,[4] dit zijn concentrische cirkels met als middelpunt. is dan de lengte van de straal van de kleinste huygenscirkel die precies één punt met gemeen heeft, zie figuur 6.

In het algemeen zal het gemeenschappelijk raakpunt zijn van die huygenscirkel en . Het lijnstuk staat dan in loodrecht op de raaklijn in aan de cirkel.

Daarbij past de volgende (wat informele) definitie, die ook te gebruiken is bij de constructie van :

  • De krommen en zijn evenwijdig indien de punten van worden gevonden door op de normaal [5] van in de punten van een lijnstuk met steeds aan dezelfde kant van af te zetten. en zijn in dit geval parallelkrommen.

Het resultaat van een bewerking op een kromme volgens deze definitie is een kromme die in het algemeen niet van hetzelfde type is als . Alleen een lijn en een cirkel geven parallelkrommen die gelijkvormig zijn met het origineel. Zelfs bij kleine waarden van kunnen gladde krommen een parallelkromme hebben met singulariteiten, figuur 7.

De kromme wordt ook wel de iso-afstandslijn van genoemd.

Als de kromme in is vastgelegd met de vectorvergelijking

dan is de kromme een parallelkromme van als de volgende vectorvergelijking heeft:

Daarin is en de normaalvector van met lengte .

Gebruik elders[bewerken | brontekst bewerken]

In de aardrijkskunde worden de denkbeeldige breedtecirkels op de aarde ook parallelcirkels of parallellen genoemd. Elke breedtecirkel is dan evenwijdig met de evenaar, een van de wiskunde afwijkend afstandsbegrip.

Het woord parallel wordt ook in de elektrotechniek en elektronica gebruikt. Bij een parallelschakeling van twee of meer componenten zijn die zo in een schakeling aangebracht dat de spanning op alle componenten gelijk is. Parallelgeschakelde componenten hoeven in een schakeling niet evenwijdig geplaatst te zijn, als maar aan de bovenstaande voorwaarde wordt voldaan.

Figuur 8. (a) Offset-curve en (b) iso-afstandslijn van een vierkant

In CAD-programma's kunnen concentrische cirkels, evenwijdige lijnen, bogen en oppervlakken worden getekend met speciale opdrachten.[6] Alleen lijnen en cirkels geven figuren die voldoen aan de genoemde definitie van evenwijdig, zie figuur 8.

In de taalkunde is parallellisme een stijlfiguur.

In de psychotherapie is een parallelproces een interactiepatroon tussen groepen van mensen.[7]

In het dagelijks taalgebruik komt het woord parallel ook voor in andere betekenissen dan evenwijdig. Zoals:

  • gelijkend op: parallellen trekken is het benoemen van gelijkenissen of verwantschappen tussen twee dingen;
  • gelijktijdig: parallelprocessor, parallelmarkt, parallelklas of -groep;
  • er naast gelegen of er naast: parallelweg, parallelrijbaan, parallelrijstrook, parallelimport.