Evenwijdig

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Evenwijdig (parallel) is een begrip dat in de euclidische meetkunde wordt gebruikt om de onderlinge ligging van twee lijnen, die van een lijn en een vlak en die van twee vlakken te beschrijven.

Twee lijnen in het platte vlak[bewerken]

fig. 1. Afstand tussen twee evenwijdige lijnen

Evenwijdige lijnen zijn, in het euclidische vlak (tweedimensionaal), rechte lijnen die geen gemeenschappelijk punt (geen snijpunt) hebben.

Toelichting. Als in het platte vlak (in de praktijk bijvoorbeeld op een stuk papier dat "oneindig groot" wordt gedacht) twee evenwijdige lijnen worden getekend (zie figuur 1), dan wordt daarmee dat vlak in drie stukken verdeeld: twee stukken die erg veel op elkaar lijken en een strook tussen die lijnen. Als nu óp die strook een rechthoek(je) wordt geplaatst met op en op , dan past die rechthoek precies tussen de lijnen, en wel op alle plaatsen, mits op de lijn en op de lijn blijven liggen. Dat is ook het geval, als de lijnen "oneindig lang" worden gedacht. Daaruit blijkt dat de lijnen onmogelijk een snijpunt (een gemeenschappelijk punt) kunnen hebben. De breedte van de strook – dat is de lengte van het lijnstukje – is de afstand tussen de lijnen .

Informeel gezegd: de breedte van de strook tussen de lijnen en verandert niet, of ook: de strook is overal even breed (even wijd).

Als eerst het rechthoekje wordt neergelegd met een korter lijnstuk en vervolgens worden de lijnen getekend, dan wordt de strook natuurlijk steeds smaller. Als bij herhaling daarvan uiteindelijk op komt te liggen, ligt tegelijk ook op .

Voor de ligging van twee lijnen in een plat vlak zijn er dan, zo bekeken, drie mogelijkheden. Ze hebben:

  • twee punten gemeenschappelijk – ze vallen samen;
  • een punt gemeen – ze snijden;
  • nul punten gemeen – ze zijn evenwijdig.

In de meetkunde is de afspraak[1] gemaakt, dat er bij "twee punten gemeenschappelijk" eigenlijk maar één rechte lijn is. Die afspraak luidt: Door twee verschillende punten gaat precies één rechte lijn. Informeel: Hebben twee lijnen twee punten gemeen, dan hebben ze alle punten gemeen.

Voorts. Bij meetkundig onderzoek moet redelijk vaak van twee lijnen worden aangetoond dat ze evenwijdig zijn, of juist niet. Daarbij moet dan soms een beroep worden gedaan op de definitie. Om zo'n bewijs zo eenvoudig mogelijk te laten verlopen is het handig en verstandig bij dat bewijs de hierbovenstaande definitie voor evenwijdigheid te gebruiken.

Twee lijnen in de ruimte[bewerken]

fig. 2. Kruisende lijnen

In de euclidische ruimte (driedimensionaal) moeten die twee lijnen, willen ze evenwijdig zijn, óók in eenzelfde vlak liggen. Is dat niet het geval, dan zijn (heten) die lijnen kruisend.

Toelichting. Als in de ruimte twee lijnen in hetzelfde vlak liggen (zie in figuur 2 het vlak , dat evenals ook oneindig groot gedacht wordt), dan is de ligging van die lijnen identiek aan de beschreven situatie hierboven (in de vlakke meetkunde): er is immers ook zo'n strook in vlak , tussen de gestippelde lijn en de lijn . Er zijn in dat geval weer drie mogelijkheden: samenvallen (2), snijden (1), evenwijdig (0) – tussen haakjes staat het aantal gemeenschappelijke punten van die lijnen. En dat aantal is gelijk aan het aantal gemeenschappelijke punten van met het vlak , immers ligt in .

Er is echter nog een mogelijkheid.

Allereerst. Met op de lijn wordt vanuit de evenwijdige positie in het vlak gedraaid om . Dan ligt het snijpunt van de lijnen in (namelijk steeds op ). Maar als vervolgens (dus daarna) het punt verplaatst wordt naar een positie voor of achter ( en in de figuur), waarbij de lijn onveranderd in de bereikte positie meegaat (het vlak blijft op z'n plaats), dan snijden of de lijn al niet meer bij een kleine verplaatsing van , en zo'n verplaatste lijn ligt dan ook niet meer met in eenzelfde vlak. Evenwel, de verplaatste lijn snijdt nog steeds het vlak . In deze situatie kruisen de verplaatste lijn en elkaar; zie de punten en in het vlak .

Lijn evenwijdig met vlak, vlak evenwijdig met vlak[bewerken]

Per definitie geldt ook:

(a) een lijn is evenwijdig met een vlak als die lijn en dat vlak geen punt gemeen (geen snijpunt) hebben;
(b) twee vlakken zijn evenwijdig als ze geen punt gemeen hebben.

Toelichting. Om min of meer gelijkluidende definities te krijgen bij het snijden van lijnen en vlakken (en ook omdat het handig en verstandig is bij bewijzen) is ook bij gekozen voor "dan hebben geen punt gemeen (geen gemeenschappelijke punten)". Maar wat zijn dan de mogelijkheden als ze niet evenwijdig zijn? Dán hebben ze dus 1, 2, 3, ... punten gemeenschappelijk. De wiskunde (i.c. de stereometrie) maakt het ook in dit geval makkelijk via enkele afspraken[1], namelijk:

(a) als drie niet op dezelfde lijn gelegen punten gemeen hebben, dan vallen en samen;
Hiermee is ook het aantal van 4, 5, ... niet collineaire gemeenschappelijke punten afgehandeld.
(b) als twee gemeenschappelijke punten hebben, dan hebben ze de lijn door die twee punten gemeenschappelijk (ze snijden elkaar en de lijn is de snijlijn van beide vlakken);
(c) als precies één gemeenschappelijk punt hebben, dan hebben ze ook een tweede punt gemeenschappelijk (en zie dan weer geval b; ze snijden elkaar).

Notatie. betekent: de lijnen zijn evenwijdig of: de lijn is evenwijdig met de lijn . Het teken heeft dezelfde betekenis bij lijn vlak en vlak vlak.

Voorbeelden[bewerken]

Tweedimensionaal
  • twee lijnen die loodrecht staan op dezelfde rechte lijn, zijn evenwijdig (stelling);
  • de lijn door de middens van twee zijden van een driehoek is evenwijdig met de (drager van de)[2] derde zijde van die driehoek (stelling);
  • de (dragers van de) zijden van een parallellogram zijn twee aan twee evenwijdig (definitie); en daarmee ook, twee aan twee, de zijden van een rechthoek en een vierkant;
  • een regelmatige zeshoek heeft drie paar evenwijdige zijden (stelling);
  • (buiten de wiskunde) de notenbalk op muziekpapier.

Parallelle lijnen.png
fig. 3. Evenwijdigheid wordt in figuren soms benadrukt met pijlen.

Driedimensionaal
  • twee lijnen die loodrecht staan op hetzelfde vlak, zijn evenwijdig (stelling);
  • de (dragers van de) ribben van een prisma zijn evenwijdig (definitie) en daarmee ook de ribben van de lichamen blok en balk;
  • de beschrijvenden van een cilindervlak zijn evenwijdig (definitie);
  • bij een rechte cirkelcilinder zijn de doorsneden van het cilindervlak met een vlak loodrecht op de as evenwijdige cirkels (stelling);
  • de zijvlakken van een kubus zijn twee aan twee evenwijdig.
  • (buiten de wiskunde): buiten- en binnenmuur van een gebouw, glasplaten bij dubbelglas; schappen in een boekenkast.

Twee eigenschappen[bewerken]

fig. 4. Lengte van het loodrechte verbindingslijnstuk
fig. 5. Lijn evenwijdig met een vlak
  • De lengte van het loodrechte verbindingslijnstuk van een punt van lijn met een punt van een daarmee evenwijdige lijn is voor alle punten van die lijn gelijk (informeel: twee evenwijdige lijnen hebben overal dezelfde afstand).

Bewijs. Zie figuur 4. De lijnen zijn evenwijdig. is een punt van en is een willekeurig ander punt van ; zijn de loodrechte projecties van op . zijn de onderlinge loodrechte verbindingslijnstukken. Nu is vierhoek een rechthoek, zodat . Hetgeen moest worden aangetoond.

Opmerking. Deze eigenschap biedt de mogelijkheid om ook samenvallende lijnen evenwijdig te noemen (informeel: hun afstand is 'overal' gelijk aan nul).

  • Een lijn die evenwijdig is met een vlak , is evenwijdig met een lijn in .

Bewijs. Zie figuur 5. is een vlak door dat snijdt. De snijlijn van en is . Omdat is, heeft geen punt gemeen met . heeft dus ook geen punt gemeen met (hier wordt dus de definitie gebruikt), maar ligt wel met in hetzelfde vlak . Dus .

Berekenen van de afstand[bewerken]

Hebben de evenwijdige lijnen in een standaard -assenstelsel de vergelijkingen

dan kan de lengte () van een loodrecht verbindingslijnstuk, worden berekend. De coördinaten van de eindpunten van zo'n lijnstuk zijn de oplossingen van de stelsels vergelijkingen:

De tweede vergelijking van elk stelsel is de vergelijking van de door het punt gaande drager van het loodlijnstuk.

De oplossingen zijn:

Bijgevolg:

Opmerking. In de vergelijkingen van de lijnen hierboven is het getal – de vermenigvuldigingsfactor van – de richtingscoëfficiënt: bepaalt de richting van de lijnen. De lijnen hebben dus dezelfde richting, of anders gezegd: . Als is, vallen de lijnen samen, immers uit de formule voor volgt dan . Hiermee wordt duidelijk dat samenvallende rechte lijnen kunnen worden beschouwd als zijnde evenwijdig.

Bijzonderheden[bewerken]

  • Door een punt gelegen buiten een rechte lijn gaat precies één rechte lijn die met die rechte lijn evenwijdig is.
  • Bij bepaalde meetkundige (ook euclidische) configuraties is het soms handig af te spreken dat twee evenwijdige lijnen elkaar in het oneindige snijden (een oneigenlijk snijpunt hebben). Dit is gebaseerd op het verschijnsel dat de hoek tussen twee elkaar snijdende lijnen steeds kleiner wordt naarmate die lijnen de evenwijdige 'positie' naderen. Daarbij komt het hoekpunt steeds verder weg te liggen. Via de limiet, bij evenwijdigheid, komt het punt dan in het oneindige te liggen.

Parallel in het oneindige.png
fig 6. Als de hoek (groen hoekpunt) tussen twee lijnen kleiner wordt, dan gaat het hoekpunt naar oneindig.

Krommen[bewerken]

fig. 7. Huygenscirkels
fig. 8. Twee parallelkrommen van

Ook bij krommen (kromme lijnen) kan evenwijdigheid aan de orde komen. Daarbij is evenwel het ontbreken van snijpunten niet voldoende (een parabool en een geheel daarbinnen gelegen cirkel zullen zeker niet evenwijdig genoemd worden). Daarom is het gebruikelijk ook de afstand van een punt tot een kromme erbij te betrekken; in formule:[3]

Het vinden van de waarde van is in de praktijk soms een probleem. Er kan evenwel gebruik gemaakt worden van zogenoemde huygenscirkels[4]; dit zijn concentrische cirkels met als middelpunt. is dan de lengte van de straal van de kleinste huygenscirkel die precies één punt met gemeen heeft; zie figuur 7.

In het algemeen zal het gemeenschappelijk raakpunt zijn van die huygenscirkel en . Het lijnstuk staat dan in loodrecht op de raaklijn in aan de cirkel.

Daarbij past de volgende (wat informele) definitie, die ook te gebruiken is bij de constructie van :

  • De krommen en zijn evenwijdig indien de punten van verkregen kunnen worden door op de normaal [5] van in de punten van een lijnstuk met steeds aan 'dezelfde kant' van af te zetten. en heten in dit geval parallelkrommen.

Het resultaat van een bewerking op een kromme volgens deze definitie is een kromme die in het algemeen niet van hetzelfde type is als ( is van een hogere graad dan ). Alleen de rechte lijn en de cirkel geven parallelkrommen die gelijkvormig zijn met het 'origineel'. Zelfs bij kleine waarden van kunnen gladde krommen een parallelkromme hebben met singulariteiten (zie figuur 8).

Opmerking. De kromme wordt ook wel de iso-afstandslijn van genoemd; zie Externe Link, Math4all.

Analytische definitie. Als de kromme in is vastgelegd met de vectorvergelijking

dan is de kromme een parallelkromme van als de volgende vectorvergelijking heeft:

Daarin is en de normaalvector van met lengte .

Taal[bewerken]

Als een van de weinige talen heeft het Nederlands voor het bedoelde begrip een eigen term: evenwijdig(heid). De term is bedacht door Simon Stevin (1548-1620). Andere talen hebben meestal een woord dat overeenkomt met of is afgeleid van parallel (< Gr. παράλληλος (par-allè-los), dat naast elkaar betekent). Uit zuiver wiskundig oogpunt is de term parallel te verkiezen, omdat evenwijdig (even wijd van elkaar) een eigenschap van parallelle lijnen uitdrukt die niet in de definitie vermeld wordt;[6] het is een bewijsbare eigenschap van die lijnen.

Gebruik elders (niet uitputtend)[bewerken]

fig. 9. (a) Offset curve en (b) iso-afstandslijn van een vierkant

In de aardrijkskunde worden de denkbeeldige breedtecirkels op de aarde ook parallelcirkels (parallellen) genoemd. Elke breedtecirkel is dan 'evenwijdig' met de evenaar (let wel, hier is sprake van een afwijkend afstandsbegrip).

Het woord parallel wordt ook in de elektrotechniek en elektronica gebruikt. Bij een parallelschakeling van twee (of meer) componenten zijn die zó in een schakeling aangebracht dat de spanning op beide gelijk is. Parallelgeschakelde componenten behoeven in een schakeling zelf helemaal niet evenwijdig geplaatst te zijn, als maar aan de bovenstaande voorwaarde wordt voldaan.

In CAD-programma's kunnen concentrische cirkels, evenwijdige lijnen, bogen en oppervlakken worden getekend met speciale opdrachten.[7] Alleen rechte lijnen en cirkels geven figuren die voldoen aan de genoemde definitie van evenwijdig; zie figuur 9.

In de taalkunde is parallellisme een zekere stijlfiguur.

In de psychotherapie is een parallelproces een interactiepatroon tussen groepen van mensen.[8]

In het dagelijks taalgebruik komt het woord parallel ook voor in andere betekenissen dan evenwijdig. Zoals:

– gelijkend op: parallellen trekken is het benoemen van gelijkenissen (verwantschappen) tussen twee dingen;
– gelijktijdig: parallelprocessor, parallelmarkt, parallelklas of -groep;
– er naast gelegen of er naast: parallelweg, parallelrijbaan, parallelrijstrook, parallelimport.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]