F- en Z-hoeken

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een lijn die twee gegeven evenwijdige lijnen snijdt maakt met elk van de twee lijnen vier hoeken. De evenwijdigheid van de twee gegeven lijnen zorgt ervoor dat een aantal hoeken gelijk zijn.

  • De overeenkomende hoeken bij beide evenwijdige lijnen worden F-hoeken genoemd en zijn gelijk.
  • Een hoek bij de ene lijn is gelijk aan de overliggende hoek aan de andere lijn, zij worden Z-hoeken genoemd.

Deze terminologie wordt vooral in het voortgezet onderwijs gebruikt bij het aanleren van rekenen en redeneren in meetkundige figuren.

F-hoeken Z-hoeken

Er staan op de figuur links een voorbeeld van twee F-hoeken, rechts van twee Z-hoeken. De rode delen geven aan waar de namen F- en Z-hoek vandaan komen.

Het omgekeerde is ook waar: zijn bij twee gegeven lijnen twee F-hoeken of Z-hoeken hetzelfde, dan zijn dit evenwijdige lijnen.

Bewijs van het omgekeerde

Het bewijs hiervan gaat uit het ongerijmde:

Voor F-hoeken:

Noem en de snijpunten van de derde lijn met de eerste en de tweede lijn.
Veronderstel dat de eerste en de tweede lijn niet evenwijdig zijn, dan moeten zij elkaar vanwege het parallellenpostulaat, het vijfde postulaat van Euclides, in een punt snijden.
Noem en de hoek tussen de twee eerste lijnen en de derde lijn, waarbij binnen ligt en er buiten.
, omdat het F-hoeken zijn, en .
, dus moet zijn. De som van de drie hoeken in een driehoek is .
Dat is onmogelijk. De veronderstelling kan daarom niet waar zijn en daarmee is de stelling voor F-hoeken bewezen.

Voor Z-hoeken:

Wanneer voor twee gegeven lijnen twee Z-hoeken gelijk zijn, zijn er voor dezelfde twee lijnen ook twee F-hoeken hetzelfde.
Er volgt dan uit het bovenstaande dat het twee evenwijdige lijnen zijn.