Gladde functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een bultfunctie is een gladde functie met een compacte drager.

In de analyse is een gladde functie een functie die willekeurig vaak, zeg maar oneindig vaak, differentieerbaar is. Een gladde functie behoort daarmee tot de hoogste differentieerbaarheidsklasse, C. Het woord "glad" doelt op het gladde, zeer gelijkmatige verloop van de grafiek van zo'n functie.

Voorbeelden[bewerken]

De C0 functie f(x)=x voor x≥0 en anders 0.
De functie f(x)=x2 sin(1/x) voor x>0.

De functie

f(x) = \begin{cases}x  & \mbox{als }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{als }x < 0\end{cases}

is continu, maar niet differentieerbaar als x=0. De functie is daarom van differentieerbaarheidsklasse C0 en niet van differentieerbaarheidsklasse C1.

De functie

f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(\tfrac 1x)} & \mbox{als }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{als }x = 0\end{cases}

is differentieerbaar, met afgeleide

f'(x) = \begin{cases}-\cos{(\tfrac 1x)} + 2x\sin{(\tfrac 1x)} & \mbox{als }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{als }x = 0.\end{cases}

Omdat cos(1/x) oscilleert als x tot nul nadert, is f ’(x) niet continu op nul, Deze functie is daarom wel differentieerbaar, maar niet van differentieerbaarheidsklasse C1. Als men verder f(x)=x3/2sin(1/x) neemt, waar in dit voorbeeld geldt dat x ≠ 0, kan dit worden gebruikt om te laten zien dat de afgeleide functie van een differentieerbare functie onbegrensd kan zijn op een compacte verzameling en dat een differentieerbare functie op een compacte verzameling daarom niet lokaal Lipschitz-continu hoeft te zijn.

Een gladde functie die niet analytisch is.

De exponentiële functie is analytisch, dus van differentieerbaarheidsklasse Cω. De goniometrische functies zijn analytisch hoe ze ook zijn gedefinieerd.

De functie

f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ als } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ anders }\end{cases}

is glad, dus van klasse C, maar is niet analytisch op x=\pm 1 , en is dus niet van klasse Cω. De functie f is een voorbeeld van een gladde functie met compacte ondersteuning.

Relatie tot de analyse[bewerken]

Hoewel alle analytische functies glad zijn op de verzameling waarop zij analytisch zijn, laat het bovenstaande voorbeeld zien dat het omgekeerde niet waar is voor functie op de reële getallen: er bestaan gladde reële functies die niet analytisch zijn. Hoewel het lijkt dat dit soort functies eerder uitzondering dan regel zijn, blijkt dat de analytische functies zeer dun verspreid zijn in verhouding tot de gladde functies; meer formeel gesproken vormen de analytische functies een schamele deelverzameling van de gladde functies. Verder bestaan er voor iedere open deelverzameling van de reële getallenlijn gladde functies die analytisch op A zijn, maar nergens anders.

Het is nuttig deze situatie te vergelijken met de alomtegenwoordigheid van transcendente getallen op de reële getallenlijn. Zowel op de reële getallenlijn als op de verzameling van gladde functies gedragen de voorbeelden die als eerste bij ons opkomen (algebraïsche/rationale getallen en analytische functies) zich veel beter dan de meerderheid van de gevallen: transcendente getallen en nergens zijn er analytische functies te bekennen die de volledige maat hebben (hun complementen zijn schamel).

De aldus omschreven situatie staat in schril contrast met complexe differentieerbare functies. Als een complexe functie slechts één keer differentieerbaar is op een open verzameling is deze complexe functie op deze verzameling zowel oneindig differentieerbaar als analytisch.