Singulariteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een singulariteit in het algemeen een punt, waar een bepaalde relevante eigenschap van een wiskundig object niet is gedefinieerd.

De functie

bijvoorbeeld kent op de reële getallenlijn een singulariteit in het punt . De functie lijkt te "ontploffen" tot en is in dit punt niet gedefinieerd.

De functie

heeft ook een singulariteit in , omdat de functie op dat punt niet kan worden gedifferentieerd.

Complexe functietheorie[bewerken]

De complexe functietheorie kent vier verschillende vormen van singulariteit. Veronderstel dat een open deelverzameling van het complexe vlak is, dat het punt een element van is en dat de functie een holomorfe functie is die gedefinieerd is in een omgeving rond die uitsluit: .

  • Geïsoleerde singulariteiten: Stel dat de functie niet is gedefinieerd in het punt , hoewel de functie wel is gedefinieerd op .
    • Het punt is een ophefbare singulariteit van , als er een holomorfe functie op alle kan worden gedefinieerd zodanig dat voor alle . De functie is een continue vervanger van de functie .
    • Het punt is een pool of niet-essentiële singulariteit van , indien er een holomorfe functie bestaat die is gedefinieerd op en een natuurlijk getal zodanig dat voor alle . De afgeleide inn een niet-essentiële singulariteit kan al dan niet bestaan. Als ongelijk is aan nul, zegt men dat een pool van orde is.
    • Het punt is een essentiële singulariteit van , indien het noch een ophefbare singulariteit, noch een pool is. Het punt is dan en slechts dan een essentiële singulariteit als de laurentreeks oneindig veel machten van negatieve graad heeft.
  • Vertakkingspunten komen in het algemeen voor bij meerwaardige functies, zoals of , die als ze gedefinieerd zijn op een zeker beperkt domein, binnen het domein eenduidig gedefinieerd kunnen worden.

Meetkunde[bewerken]

Veronderstel dat een affiene variëteit is, dat wil zeggen de oplossingsverzameling van een stelsel van veeltermvergelijkingen in veranderlijken. De raakruimte in een punt wordt bepaald door de veeltermen te vervangen door hun beste lineaire benadering in . Elke veelterm afzonderlijk bepaalt een hypervlak door (met als vergelijking ) en de raakruimte is de doorsnede van die hypervlakken.

Het punt heet singulier punt of singulariteit als minstens een van die hypervlakken niet goed bepaald is, omdat , d.w.z. dat alle partiële afgeleiden van de overeenkomstige veelterm nul zijn in .

Voorbeeld[bewerken]

Grafiek van de kromme met vergelijking . De singulariteit in (0,0) valt op aan de 'doornvorm'

De derdegraadsveelterm in twee veranderlijken en

bepaalt een reële kromme in het vlak. De singuliere punten van die kromme vinden we door de partiële afgeleiden van samen gelijk te stellen aan 0:

Hieruit volgt dat (0,0) de enige singulariteit op de kromme is.

Zelfintersectie[bewerken]

De kromme met vergelijking heeft een dubbelpunt in (0,0)

Een dubbelpunt, of meer in het algemeen een punt waar de variëteit zichzelf snijdt (zodat er verscheidene raakruimtes lijken te bestaan), is altijd een singulariteit.

Een triviaal voorbeeld hiervan is de vlakke kromme die bestaat uit de vereniging van de -as en de -as met vergelijking

Een eenvoudig niet-triviaal (en irreducibel) voorbeeld is de kromme bepaald door de vergelijking

Differentieerbare functies en catastrofen[bewerken]

De catastrofetheorie bestudeert het lokaal gedrag van functiekiemen rondom singulariteiten. Een singulariteit is in dat verband een kiem van differentieerbare functies

met de eigenschap dat .[1]

Zie ook[bewerken]