Singulariteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een singulariteit in het algemeen een punt, waar een bepaalde relevante eigenschap van een wiskundig object niet is gedefinieerd.

De functie

kent op de reële getallenlijn bijvoorbeeld een singulariteit op x = 0. De functie lijkt te "ontploffen" tot ± ∞ en is op dit punt niet gedefinieerd. De functie

heeft ook een singulariteit op x = 0, omdat de functie op dat punt niet kan worden gedifferentieerd.

Complexe functietheorie[bewerken]

De complexe functietheorie kent vier verschillende vormen van singulariteit. Stel dat U een open deelverzameling van het complexe vlak is, dat punt a een element van U is en dat functie f een complex differentieerbare functie is, die is gedefinieerd in een omgeving rond a, die a uitsluit: U \ {a}.

  • Geïsoleerde singulariteiten: Stel dat de functie f niet is gedefinieerd in punt a, hoewel de functie wel is gedefinieerd op U \ {a}.
    • Het punt a is een ophefbare singulariteit van f als er een holomorfe functie g op alle U kan worden gedefinieerd zodanig dat f(z) = g(z) voor alle z in U \ {a}. De functie g is een continue vervanger van de functie f.
    • Het punt a is een pool of niet-essentiële singulariteit van f, indien er een holomorfe functie g bestaat die is gedefinieerd op U en een natuurlijk getal n zodanig dat f(z) = g(z) / (za)n voor alle z in U \ {a}. De afgeleide van een niet-essentiële singulariteit kan al dan niet bestaan. Als g(a) ongelijk is aan nul, dan zeggen we dat a een pool van orde n is.
    • Het punt a is een essentiële singulariteit van f, indien het noch een ophefbare singulariteit, noch een pool is. Het punt a is een essentiële singulariteit dan en slechts dan als de Laurentreeks oneindig veel machten van negatieve graad heeft.
  • Vertakkingspunten zijn in het algemeen het resultaat van een multi-gewaardeerde functie, zoals of die zijn gedefinieerd op een zeker beperkt domein, zodat de functie binnen het domein eenmalig gewaardeerd kunnen worden. De snede is een lijn of kromme lijn van het domein om een technische scheiding tussen discontinue waarden van de functie te introduceren. Wanneer de snede echt nodig is, zal de functie duidelijk verschillende waarden hebben aan beide zijden van de gesneden tak. De locatie en vorm van het merendeel van de afgesneden tak is meestal een kwestie van keuze, met misschien slechts een punt (zoals voor ) dat vast op zijn plaats wordt gehouden.

Meetkunde[bewerken]

Veronderstel dat V een affiene variëteit is, dat wil zeggen de oplossingsverzameling van een stelsel van veeltermvergelijkingen in n veranderlijken. De raakruimte in een punt P wordt bepaald door de veeltermen te vervangen door hun beste lineaire benadering in P. Elke veelterm f afzonderlijk bepaalt een hypervlak doorheen P (met als vergelijking df(P).(X-P)=0) en de raakruimte is de doorsnede van die hypervlakken.

Het punt P heet singulier punt of singulariteit als minstens één van die hypervlakken niet goed bepaald is omdat df(P)=0, d.w.z. dat alle partiële afgeleiden van de overeenkomstige veelterm nul zijn in P.

Voorbeeld[bewerken]

Grafiek van de kromme met vergelijking x3-y2=0. De singulariteit in (0,0) valt op aan de 'doornvorm'

De derdegraadsveelterm in twee veranderlijken x en y

bepaalt een reële kromme in het vlak. De singuliere punten van die kromme vinden we door de partiële afgeleiden van f samen gelijk te stellen aan 0:

Hieruit volgt dat (0,0) de enige singulariteit op de kromme is.

Zelfintersectie[bewerken]

De kromme met vergelijking y2-x2(x+1)=0 heeft een dubbelpunt in (0,0).

Een dubbelpunt, of meer in het algemeen een punt waar de variëteit zichzelf snijdt (zodat er verscheidene raakruimtes lijken te bestaan), is altijd een singulariteit.

Een triviaal voorbeeld hiervan is de vlakke kromme die bestaat uit de unie van de X-as en de Y-as met vergelijking x.y=0.

Een eenvoudig niet-triviaal (en irreducibel) voorbeeld is de kromme bepaald door de vergelijking

Differentieerbare functies en catastrofen[bewerken]

De catastrofetheorie bestudeert het lokaal gedrag van functiekiemen rondom singulariteiten. Een singulariteit is in dat verband een kiem van differentieerbare functies

met de eigenschap dat f(0)=Df(0)=0.[1]

Zie ook[bewerken]