Raakruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De raakvector op in zowel als snelheidsvector van een kromme door als ook als raakruimte aan punt gedefinieerd

In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie is de raakruimte in een punt van een gekromde ruimte een vectorruimte die het klassieke begrip raaklijn tot hogere dimensies veralgemeniseert en het intrinsiek maakt (onafhankelijk van parametrisatie en inbedding).

Klassieke constructie[bewerken]

Zij een glad oppervlak, ingebed in de driedimensionale Euclidische ruimte . In ieder punt bestaat een uniek raakvlak. De punten van dat raakvlak vormen een tweedimensionale reële vectorruimte (optelling met de parallellogramwet waarbij als derde hoekpunt optreedt).

Algemener, zij een -dimensionale gladde variëteit, ingebed in de -dimensionale Euclidische ruimte (). Door ieder punt gaat een uniek -dimensionaal hypervlak van met de eigenschap dat, voor een gegeven lokaal coördinatenstelsel (kaart) rond , de afgeleiden van de coördinaatkrommen in evenwijdig lopen met . De ligging van is onafhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel, maar hangt uiteraard wel af van .

We noteren en noemen het raakruimte (ook: rakende ruimte) van in . De afgeleiden van de coördinaatkrommen vormen een basis voor .

Intrinsieke definitie[bewerken]

Sinds Bernhard Riemann geven meetkundigen de voorkeur aan objecten die voor hun bestaan niet afhankelijk zijn van de gekozen coördinaten en inbedding in een hogerdimensionale Euclidische ruimte.

De raakruimte van een willekeurige gladde variëteit in een punt wordt gedefinieerd door de volgende equivalentierelatie op de verzameling van alle gladde krommen die door gaan:

Twee krommen zijn equivalent als in een willekeurig coördinatenstelsel hun afgeleiden in gelijk zijn. Men toont aan dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen coördinaten.

De aldus ontstane partitie vormt een reële vectorruimte door coördinaatsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging in een voldoende kleine omgeving van , en we noemen haar de raakruimte in . Zij een kaart rond een punt . De equivalentieklassen horend bij de coördinaatkrommen

vormen een basis voor . Traditioneel worden dergelijke basisvectoren aangeduid met de notatie

Raakbundel[bewerken]

De vereniging van alle raakruimten

kan op natuurlijke wijze op haar beurt worden uitgerust met de structuur van een -dimensionale gladde variëteit. Met elke kaart van wordt een kaart van gebouwd door de eerste coördinaten een punt van de laten aanduiden, en de volgende coördinaten een vector ten opzichte van de hierboven geschetste basis.

De variëteit heet de raakbundel van . Ze is het typevoorbeeld van het begrip vectorbundel. De afzonderlijke vectorruimten zijn de vezels van .

Een gladde afbeelding van (een deel van) naar die iedere afbeeldt op een vector uit de overeenkomstige vezel , noemen we een sectie van , ook wel vectorveld of kortweg (in de natuurkunde, enigszins verwarrend) vector.

Coraakruimte en corakende bundel[bewerken]

Met iedere vectorruimte associeert men de duale vectorruimte die bestaat uit de lineaire afbeeldingen van naar het scalairenlichaam .

De coraakruimte van in , genoteerd , bestaat uit de lineaire afbeeldingen van naar .

Met iedere basis van een eindigdimensionale vectorruimte komt een natuurlijke basis voor de duale vectorruimte overeen: de duale basisvector beeldt de basisvector af op 1, en alle andere basisvectoren op 0.

De duale basis van die overeenkomt met de basis van , noteren we .

De vereniging van alle coraakruimten in de verschillende punten van heet de corakende bundel van en wordt genoteerd. Ook hij wordt op natuurlijke wijze een -dimensionale variëteit (in feite een -dimensionale vectorbundel over ). Zijn secties heten covectorvelden of covectoren.

Rakende of geïnduceerde afbeelding[bewerken]

Met een gladde afbeelding tussen gladde variëteiten komt op natuurlijke wijze een lineaire afbeelding tussen de raakruimten overeen. Deze kan op twee gelijkwaardige manieren expliciet gedefinieerd worden:

  • Een vector is per definitie een equivalentieklasse van krommen met dezelfde snelheid in . Door samenstelling met verkrijgen we krommen in , en wegens de kettingregel hebben die allemaal dezelfde snelheid in . Ze bepalen dus een unieke equivalentieklasse, dat wil zeggen een vector in . Het is niet moeilijk na te rekenen dat dit verband lineair is.
  • Beschouw kaarten in resp. in . De natuurlijke basissen en bepalen lineaire isomorfismen enerzijds tussen en , anderzijds tussen en . Uitgedrukt in de overeenkomstige coördinatenstelsels komt met een afbeelding van naar , dus haar afgeleide is een lineaire afbeelding van naar . De rakende afbeelding wordt dan gedefinieerd als .

Zie ook[bewerken]