Raakruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De raakvector op M in x \in M zowel als snelheidsvector van een kromme \gamma door  x als ook als raakruimte aan punt x gedefinieerd

In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie is de raakruimte in een punt van een gekromde ruimte een vectorruimte die het klassieke begrip raaklijn tot hogere dimensies veralgemeniseert en het intrinsiek maakt (onafhankelijk van parametrisatie en inbedding).

Klassieke constructie[bewerken]

Zij S een glad oppervlak, ingebed in de driedimensionale Euclidische ruimte \mathbb{R}^3. In ieder punt p\in S bestaat een uniek raakvlak. De punten van dat raakvlak vormen een tweedimensionale reële vectorruimte (optelling met de parallellogramwet waarbij p als derde hoekpunt optreedt).

Algemener, zij M een m-dimensionale gladde variëteit, ingebed in de n-dimensionale Euclidische ruimte \mathbb{R}^n (n>m). Door ieder punt p\in M gaat een uniek m-dimensionaal hypervlak H van \mathbb{R}^n met de eigenschap dat, voor een gegeven lokaal coördinatenstelsel (kaart) rond p, de afgeleiden van de coördinaatkrommen in p evenwijdig lopen met H. De ligging van H is onafhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel, maar hangt uiteraard wel af van p.

We noteren H=T_pM en noemen het raakruimte (ook: rakende ruimte) van M in p. De afgeleiden van de coördinaatkrommen vormen een basis voor T_pM.

Intrinsieke definitie[bewerken]

Sinds Bernhard Riemann geven meetkundigen de voorkeur aan objecten die voor hun bestaan niet afhankelijk zijn van de gekozen coördinaten en inbedding in een hogerdimensionale Euclidische ruimte.

De raakruimte van een willekeurige gladde variëteit M in een punt p wordt gedefinieerd door de volgende equivalentierelatie op de verzameling van alle gladde krommen die door p gaan:

f,g:[-\epsilon,+\epsilon]\to M,\ f(0)=g(0)=p
f\sim g\Leftrightarrow f'(0)=g'(0)\Leftrightarrow\forall i=1,\ldots,m:f'_i(0)=g'_i(0)

Twee krommen zijn equivalent als in een willekeurig coördinatenstelsel hun afgeleiden in p gelijk zijn. Men toont aan dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen coördinaten.

De aldus ontstane partitie vormt een reële vectorruimte door coördinaatsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging in een voldoende kleine omgeving van p, en we noemen haar de raakruimte in p. Zij K een kaart rond een punt p\in M. De equivalentieklassen horend bij de coördinaatkrommen

k_i:[-\epsilon,+\epsilon]\to M:r\mapsto K\left(x_1(p),\ldots,x_{i-1}(p),x_i(p)+r,x_{i+1}(p),\ldots,x_m(p)\right)

vormen een basis voor T_pM. Traditioneel worden dergelijke basisvectoren aangeduid met de notatie {\partial\over\partial x_i}

Raakbundel[bewerken]

De vereniging van alle raakruimten

TM\equiv\bigcup\{T_pM|p\in M\}

kan op natuurlijke wijze op haar beurt worden uitgerust met de structuur van een 2m-dimensionale gladde variëteit. Met elke kaart van M wordt een kaart van TM gebouwd door de eerste m coördinaten een punt van p de laten aanduiden, en de volgende m coördinaten een vector ten opzichte van de hierboven geschetste basis.

De variëteit TM heet de raakbundel van M. Ze is het typevoorbeeld van het begrip vectorbundel. De afzonderlijke vectorruimten T_pM zijn de vezels van TM.

Een gladde afbeelding van (een deel van) M naar TM die iedere p\in M afbeeldt op een vector uit de overeenkomstige vezel T_pM, noemen we een sectie van TM, ook wel vectorveld of kortweg (in de natuurkunde, enigszins verwarrend) vector.

Coraakruimte en corakende bundel[bewerken]

Met iedere vectorruimte V associeert men de duale vectorruimte V^* die bestaat uit de lineaire afbeeldingen van V naar het scalairenlichaam K.

De coraakruimte van M in p, genoteerd T^*_pM, bestaat uit de lineaire afbeeldingen van T_pM naar \mathbb{R}.

Met iedere basis \{e_1,\ldots,e_n\} van een eindigdimensionale vectorruimte komt een natuurlijke basis \{e^*_1,\ldots,e^*_n\} voor de duale vectorruimte overeen: de duale basisvector e_i^* beeldt de basisvector e_i af op 1, en alle andere basisvectoren op 0.

De duale basis van T^*_pM die overeenkomt met de basis \left\{{\partial\over\partial x_1},\cdots,{\partial\over\partial x_m}\right\} van T_pM, noteren we \left\{dx_1,\cdots,dx_m\right\}.

De vereniging van alle coraakruimten in de verschillende punten van M heet de corakende bundel van M en wordt T^*M genoteerd. Ook hij wordt op natuurlijke wijze een 2m-dimensionale variëteit (in feite een m-dimensionale vectorbundel over M). Zijn secties heten covectorvelden of covectoren.

Rakende of geïnduceerde afbeelding[bewerken]

Met een gladde afbeelding tussen gladde variëteiten f:M\to N komt op natuurlijke wijze een lineaire afbeelding tussen de raakruimten f^*_p:T_pM\to T_{f(p)}N overeen. Deze kan op twee gelijkwaardige manieren expliciet gedefinieerd worden:

  • Een vector v\in T_pM is per definitie een equivalentieklasse van krommen met dezelfde snelheid in p. Door samenstelling met f verkrijgen we krommen in N, en wegens de kettingregel hebben die allemaal dezelfde snelheid in f(p). Ze bepalen dus een unieke equivalentieklasse, dat wil zeggen een vector in T_{f(p)}N. Het is niet moeilijk na te rekenen dat dit verband lineair is.
  • Beschouw kaarten (x^i) in p resp. (y^j) in f(p). De natuurlijke basissen \left({\partial\over\partial x^1},\cdots,{\partial\over\partial x^m}\right) en \left({\partial\over\partial y^1},\cdots,{\partial\over\partial y^n}\right) bepalen lineaire isomorfismen enerzijds tussen T_pM en \mathbb{R}^m, anderzijds tussen T_{f(p)}N en \mathbb{R}^n. Uitgedrukt in de overeenkomstige coördinatenstelsels komt met f een afbeelding {\tilde f}=x\circ f\circ y^{-1} van \mathbb{R}^m naar \mathbb{R}^n, dus haar afgeleide d{\tilde f} is een lineaire afbeelding van \mathbb{R}^m naar \mathbb{R}^n. De rakende afbeelding wordt dan gedefinieerd als f^*_p=(dx)^{-1}\circ d{\tilde f}\circ dy.

Zie ook[bewerken]