Scalaire vermenigvuldiging

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een scalaire vermenigvuldiging een bewerking die aan een vermenigvuldiging van getallen doet denken, maar waarbij slechts een van de twee leden echt de benaming "getal" verdient. Het andere lid is gewoonlijk een vector.

Niet te verwarren met scalair product, een synoniem voor inwendig product.

Definitie[bewerken]

Zij het cartesisch product van een ring met een commutatieve groep .

Formeel is een scalaire vermenigvuldiging een afbeelding van naar die op de volgende wijze compatibel is met de ring- en groepsstructuur:

  1. Linksdistributief:
  2. Rechtsdistributief:
  3. Gemengd associatief:

In de context van commutatieve ringen met eenheidselement eist men bovendien meestal dat

.

Bovenstaande functionele notatie is omslachtig, en men noteert het scalair product van en gewoon

Een dergelijke combinatie noemt men een (linker)moduul. Als een lichaam is, spreken we van een vectorruimte.

Meetkundige interpretatie[bewerken]

De vector is een uitgerekte of ingekrompen versie van de vector , en is de schaalfactor.

Als en twee verschillende vectoren zijn en een schaalfactor verschillend van 0, dan is de rechte die en verbindt, evenwijdig met de rechte die en verbindt.

Voorbeelden[bewerken]

  • Opblazen van het reële coördinatenvlak met een reële schaalfactor :
  • Algemener, zij een willekeurige commutatieve groep:
( keer)
(als negatief is, keer het invers element van bij zichzelf optellen)
  • Bovenstaande afbeelding bestaat nog steeds als niet commutatief is, maar ze respecteert niet langer de distributiviteitseigenschappen.
  • Noteer voor het commutatief lichaam der restklassen bij deling door , en zij een commutatieve groep. De afbeelding die op en op afbeeldt, is een scalaire vermenigvuldiging.