Associativiteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een binaire operatie * over een verzameling S wordt associatief genoemd, indien voor alle x,y en z uit S geldt:

 (x*y)*z = x*(y*z)

In de wiskunde is associativiteit een eigenschap van een binaire operatie. Het betekent dat, wanneer binnen een operatie, waarin twee of meer associatieve operatoren achter elkaar voorkomen, de volgorde, waarin de operatie wordt uitgevoerd, wordt niet van belang is, onder de voorwaarde dat de volgorde van de operanden niet verandert. Dat betekent in de praktijk dat het verplaatsen van haakjes in een expressie de uitkomst van de expressie niet verandert.

Beschouw nu twee voorbeelden van binaire associatieve operaties: het optellen en het vermenigvuldigen van natuurlijke getallen.

a + (b + c) = (a + b) + c ||| voorbeeld: (5 + 2) + 3 = 7 + 3 = 10 en 5 + (2 + 3) = 5 + 5 = 10
a × (b × c) = (a × b) × c ||| voorbeeld: (5 × 2) × 3 = 10 × 3 = 30 en 5 × (2 × 3) = 5 × 6 = 30

Hoewel de haakjes zijn verplaatst, is de uitkomst niet veranderd. Aangezien dit waar is voor elke optelling en vermenigvuldiging van de natuurlijke getallen, kunnen we zeggen dat de optelling en de vermenigvuldiging van natuurlijke getallen beide "associatieve operaties" zijn.

Andere binaire associatieve operaties zijn onder andere optellen en vermenigvuldigen van reële en complexe getallen, en het optellen van vectoren. Een voorbeeld van een niet-associatieve operatie is aftrekken: 5 - (3 - 2) is iets anders dan (5 - 3) - 2.

Definitie[bewerken]

Formeel wordt een binaire operatie *\! op een verzameling S associatief genoemd, wanneer deze operatie aan de associatieve wet voldoet:

(x*y)*z=x*(y*z)\qquad\mbox{voor alle }x,y,z \in S.

De volgorde waarin de beide operaties worden uitgevoerd, heeft dus geen effect op de uitkomst. Vervolgens kan worden aangetoond dat dit ook geldt voor expressies met daarin elk aantal operaties *. Dus wanneer * associatief is, kan de evaluatie-volgorde ongespecificeerd blijven, zonder dat dit tot ambiguïteit leidt. We kunnen daarom de haakjes weglaten en simpel schrijven:

x*y*z

Het is echter belangrijk te onthouden dat veranderen van de volgorde van de operaties niet betekent en ook niet toestaat dat de actuele operaties zelf veranderen door de operanden binnen de expressie van plaats te laten veranderen.

Zie ook[bewerken]