Bewerkingsvolgorde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Rekensom voor de lagere school uit 1958

De bewerkingsvolgorde is een afspraak over de volgorde waarin bewerkingen moeten worden uitgevoerd bij het uitwerken van een rekenkundige expressie. Deze afspraak maakt het mogelijk om expressies te noteren met minder haakjes.

Moderne volgorde[bewerken]

De moderne volgorde, die in de Nederlandse wiskundeschoolboeken beschreven en geoefend wordt, is:

De bewerkingsvolgorde kan stapsgewijs worden toegepast
  1. haakjes
  2. machtsverheffen en worteltrekken
  3. vermenigvuldigen en delen
  4. optellen en aftrekken

Bewerkingen die in de lijst op gelijke hoogte staan, zoals optellen en aftrekken, zijn gelijkwaardig. Gelijkwaardige bewerkingen worden van links naar rechts uitgevoerd.

Een ezelsbruggetje voor deze volgorde exclusief aanwijzingen voor gelijkwaardigheid, is: Hoe moeten wij van de onvoldoendes afkomen?. En een ezelsbruggetje inclusief aanwijzingen voor de gelijkwaardigheid is: Hé, Mw. v/d Aorta!.

Oudere volgorde[bewerken]

De plaats van de w in het oude, achterhaalde ezelsbruggetje Meneer van Dalen wacht op antwoord laat zien dat enkele toonaangevende 19e-eeuwse leerboeken een andere opvatting verkondigden over de gangbare volgorde. Het eerste bekende Nederlandse leerboek dat die volgorde expliciet beschreef, en samenvatte in een ranglijst, was Beginselen der stelkunst, voor de kadetten van alle wapenen van Badon Ghijben en Strootman, van de Koninklijke Militaire Academie (1838)[1]:

  1. machtsverheffen
  2. vermenigvuldigen
  3. delen
  4. worteltrekken
  5. optellen en aftrekken
  • De schrijvers lieten de haakjes, die ze wel degelijk gebruikten, buiten de lijst omdat haakjes geen bewerking zijn.
  • Delen was dus ondergeschikt aan vermenigvuldigen. 12 : 4 × 3 was 1, terwijl dat nu 9 is.
  • Worteltrekken stond opmerkelijk laag. √ 4 × 3 was √(12), terwijl het nu 6 is.

Een bekend leerboek voor het lager onderwijs dat deze ranglijst geheel overnam was het Leerboek der Rekenkunde van Jan Versluys uit 1875.[2] Dat Versluys de ranglijst van Badon Ghijben overnam betekent niet dat er in het 19e-eeuwse onderwijs overeenstemming bestond over die volgorde; met name over de betekenis van a : b × c waren de meningen verdeeld.[3] Beide leerboeken behandelden de ranglijst ook niet als leerstof maar als bijzaak, in een appendix, zonder oefensommetjes. Later werden lastige onderbehaakte oefensommetjes op scholen soms een doel op zich, en werd het ezelsbruggetje Meneer van Dalen wacht op antwoord bedacht. In de tweede helft van de 20ste eeuw kozen veel schoolboeken voor de moderne bewerkingsvolgorde die internationaal regel was, mede door de invloed van de programmeertalen van de jaren 60-'70 (Fortran, Algol, Pascal en C). Het oude ezelsbruggetje werd afgezworen, hoewel het nog enigszins bruikbaar zou blijven: de veranderde plaats van worteltrekken maakte in de praktijk weinig uit omdat de wortels in bijna alle boeken voorzien werden van een bovenstreep of haakjes.[4] De veranderde gelijkwaardigheid van vermenigvuldigen en delen maakte niet uit voor het ezelsbruggetje omdat dit van oudsher geen aanwijzingen voor gelijkwaardigheid bevatte, ook niet voor de oude gelijkwaardigheid van optellen en aftrekken.

Een enkele wiskundeschoolboekenserie handhaafde bovenstreeploze wortels en de oude bewerkingsvolgorde MVDWOA tot aan het eind van de 20ste eeuw (Sigma, laatste druk verschenen in de jaren 90).[5]

Nog ouder[bewerken]

Vermenigvuldigen ging voor worteltrekken sinds Descartes dit beschreef in La Géométrie

Nog oudere algebraboeken laten zien dat de volgorde die Badon Ghijben optekende, bij zijn voorgangers inderdaad gangbaar was. Daarin komen de volgende, van de moderne volgorde afwijkende, gevallen voor (terloops in voorbeelden, zonder dat het als voorrangsregel geformuleerd werd):

  1. voorrang van vermenigvuldigen boven worteltrekken, zoals in √ab, en
  2. voorrang van vermenigvuldigen boven delen, zoals in a:bc en a/bc.

Geval (1) is zichtbaar in alle oude algebraboeken[6][7][8][9][10][11][12] omdat de wortel van een product geschreven werd zonder bovenstreep; de bovenstreep werd slechts gebruikt voor de wortel van een veelterm, zoals in √ a + b. Die gewoonte was afkomstig van Descartes[6]; de ondergeschiktheid van worteltrekken aan vermenigvuldigen in 'Meneer van Dalen wacht op antwoord' is dus te danken aan hem. De beperking op het gebruik van de bovenstreep was handig in de begintijd van de boekdrukkunst omdat de bovenstreep van de wortel problematisch zetwerk was: "het lyntje daarboven te stellen is niet alleen oorzaak dat de regels van ongelyke afstand worden, maar ook datze veeltyds scheef komen te staan, dat geen goede gestalte aan een boek geeft".[11] Geval (2) is iets zeldzamer omdat een expressie als a:bc in een minderheid van de oude algebraboeken voorkomt[11][12].

Minteken als unaire operatie[bewerken]

Het minteken als unaire operatie heeft een lagere prioriteit dan machtsverheffen, zodat -3² = -9 en -x² = -(x²). Er zijn echter enkele afwijkende applicaties en programmeertalen, met name Microsoft Excel en de programmeertaal bc, waarin het een hogere prioriteit heeft dan machtsverheffen, zodat daar -3² = 9.

Uitzondering op de regel[bewerken]

Vakgebieden met ingewikkelde formules en berekeningen, zoals natuurkunde, kunnen een traditie hebben van kleine uitzonderingen op de standaard bewerkingsvolgorde ten behoeve van de leesbaarheid. De uitzondering kan vastgelegd zijn in de stijlgids van belangrijke vaktijdschriften. Zo schrijft het natuurkundige tijdschrift Physical Review voor dat delen een lagere prioriteit heeft dan vermenigvuldigen indien de deling met een schuine breukstreep wordt geschreven.[13] Bijvoorbeeld in h/4π en e - t / R C.

6/2(1+2)=?[bewerken]

Ook schoolrekenmachines gaven verschillende antwoorden

In 2011 ontstond er op internet een lawine van aandacht (internetmeme) voor het bewerkingsvolgordevraagstuk 6/2(1+2)=?.[14] Het werd als meerkeuzevraag op Facebook door miljoenen mensen beantwoord. De meningen bleken zeer verdeeld: de antwoorden 1 en 9 waren ongeveer even populair. De verklaring van deskundigen is dat notatie van breuken zoals 3/5x, met een schuine breukstreep, inderdaad niet universeel eenduidig zijn. Deze notatie wordt daarom afgeraden.[15]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. J. Badon Ghijben, Beginselen der stelkunst, voor de kadetten van alle wapenen (Appendix), 1854
  2. J. Versluys, Leerboek der Rekenkunde, deel 3, 1875, p. 174-176
  3. E. de Moor (1995). Weg met Van Dalen. Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs (april): 7 .
  4. Voorbeeld: twijfel over volgorde van worteltrekken en vermenigvuldigen in √4×3 verdwijnt door bovenstreep of haakjes: √ 4 × 3 en √(4 × 3)
  5. W.H.H. van der Maaten, Sigma 5vA - VWO wiskunde A, 1990
  6. a b René Descartes, La Géométrie, 1637
  7. A. de Graaf, De beginselen van de algebra of stelkonst, volgens de manier van Renatus Des Cartes, 1672
  8. A. de Graaf, Inleyding tot de wiskunst of de beginselen van geometria en algebra, 2e druk, 1706
  9. P. Venema, Een korte en klaare onderwijzing in de beginselen van de algebra ofte stel-konst, 2e-8e druk, 1730-1813
  10. O.S. Bangma, Inleiding tot de algebra, ten dienste der scholen, Wiskundig Genootschap, 1811
  11. a b c J. de Gelder, Beginselen der stelkunst, 1819
  12. a b I.R. Schmidt (S.F. Lacroix), Beginselen der stelkunst ten gebruike van de Kadetten der Koninklijke Artillerie- en Genieschool te Delft. Vrij gevolgd naar het Fransch van den heer S.F. Lacroix, Wiskundig Genootschap, 1821
  13. Physical Review Style and Notation Guide 21. American Physical Society (1983, 2011) Geraadpleegd op 23 August 2012
  14. Internetmeme 48/2(9+3)=?
  15. The most comon errors in undergraduate mathematics, Vanderbilt University