Kiem (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

In de wiskunde, meer bepaald in de analyse, beschrijft een kiem het lokale gedrag van een functie in willekeurig kleine omgevingen van een gegeven punt.

Achtergrond[bewerken]

Beschouw willekeurig vaak differentieerbare reële functies die gedefinieerd zijn in een omgeving van 0. Als het slechts gaat om het lokale gedrag in de omgeving van 0, is het onderscheid tussen twee functies en niet van belang als hun verschil gedefinieerd op de doorsnede van hun domeinen, gelijk is aan 0 op een (eventueel kleinere) omgeving van 0.

Zij de verzameling van alle (willekeurig vaak) differentieerbare functies waarvan het domein een open omgeving van 0 omvat:

Twee functies en noemt men equivalent, , als zij "gelijk zijn op een kleine omgeving van 0", d.w.z. dat er een getal is, zodanig dat:

en voor alle geldt dat

De equivalentieklassen van deze relatie heten de differentieerbare functiekiemen. Net als gewone functies, kunnen ook functiekiemen bij elkaar opgeteld worden en met elkaar vermenigvuldigd. Ze vormen dus een commutatieve algebra over het lichaam der reële getallen.

Merk op dat een kiem, opgevat als equivalentieklasse van functies, weliswaar heel veel verschillende functies bevat, maar ten hoogste een van die functies is analytisch (een analytische functie op een samenhangend domein ligt volledig vast door haar gedrag in de omgeving van één punt).

Definitie[bewerken]

Zij een vast gekozen punt in een topologische ruimte en een verzameling functies waarvan het domein deel uitmaakt van en met waarden in een gegeven verzameling Met wordt de deelverzameling van aangeduid die bepaald wordt door de voorwaarde dat het domein van de functie een omgeving is van

De functies en in heten equivalent, , als er een omgeving van is zodanig dat voor alle geldt dat

De equivalentieklassen heten de kiemen van in

Voorbeelden[bewerken]

Zij en de verzameling van alle indicatorfuncties van deelverzamelingen van een verzameling (deze is gelijkwaardig met de machtsverzameling van ). De equivalentieklassen heten de kiemen van verzamelingen in Twee deelverzamelingen van behoren tot dezelfde kiem als ze identieke doorsneden hebben met voldoende kleine omgevingen van In dit voorbeeld hebben alle functies de hele ruimte als domein.

In het voorbeeld uit de motiverende paragraaf is de verzameling der reële getallen, en bevat de onbeperkt differentieerbare (partiële) reële functies.

Bij continue functiekiemen (in een gegeven punt van ) is een topologische ruimte, en bevat alle continue partiële functies van (een deel van) naar

Toepassing[bewerken]

De catastrofetheorie classificeert kiemen van differentieerbare functies

op diffeomorfismen (omkeerbare differentieerbare transformaties) van het domein na. Ze kent een bijzondere rol toe aan "stabiele" kiemen, dit zijn kiemen die robuust zijn onder kleine variaties van de beeldverzameling.