Kiem (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde, meer bepaald in de analyse, beschrijft een kiem het lokale gedrag van een functie in willekeurig kleine omgevingen van een gegeven punt.

Motivatie[bewerken]

We beschouwen onbeperkt differentieerbare reële functies die gedefinieerd zijn op een omgeving van 0. Aangezien we slechts geïnteresseerd zijn in het lokale gedrag in de omgeving van 0, wensen we geen onderscheid te maken tussen twee verschillende functies f en g als hun verschil f-g, gedefinieerd op de doorsnede van hun domeinen, constant de waarde 0 aanneemt op een (eventueel kleinere) omgeving van 0.

Zij F de verzameling van alle (willekeurig vaak) differentieerbare functies waarvan het domein een open omgeving van 0 omvat:

F=\{(D,f)|0\in D^\circ\subset\mathbb{R},f:D\to\mathbb{R}\hbox{ diff.}\}

Noteer \sim voor de equivalentierelatie "gelijkheid op een kleine omgeving van 0":

(D,f)\sim(E,g)\iff\exists\epsilon>0,(-\epsilon,\epsilon)\subset D\cap E,\forall x\in(-\epsilon,\epsilon):f(x)=g(x)

De equivalentieklassen van deze relatie noemen we de differentieerbare functiekiemen. Net als gewone functies, kunnen we ook functiekiemen bij elkaar optellen en met elkaar vermenigvuldigen. Ze vormen dus een commutatieve algebra over het lichaam der reële getallen.

Merk op dat een kiem, opgevat als equivalentieklasse van functies, weliswaar heel veel verschillende functies bevat, maar ten hoogste één van die functies is analytisch (een analytische functie op een samenhangend domein ligt volledig vast door haar gedrag in de omgeving van één punt).

Algemene definitie[bewerken]

Zij p een vast gekozen punt in een topologische ruimte X. Zij F een verzameling functies waarvan het domein deel uitmaakt van X, en met waarden in een gegeven verzameling Y. We noemen Fp de deelverzameling van F die bepaald wordt door de voorwaarde dat het domein van de functie een omgeving is van p:

F_p=\{f\in F|\hbox{dom}\,f\in\mathcal{V}(p)\}

Noteer \sim voor de volgende equivalentierelatie op Fp:

f\sim g\iff\exists V\in\mathcal{V}(p),V\subset\hbox{dom}\,f\cap\hbox{dom}\,g,\forall x\in V:f(x)=g(x)

De equivalentieklassen noemen we de kiemen van F in p.

Voorbeelden[bewerken]

Zij Y={0,1} en zij F de verzameling van alle indicatorfuncties van deelverzamelingen van X (deze is gelijkwaardig met de machtsverzameling van X). De equivalentieklassen heten de kiemen van verzamelingen in p. Twee deelverzamelingen van X behoren tot dezelfde kiem als ze identieke doorsneden hebben met voldoende kleine omgevingen van p. In dit voorbeeld hebben alle functies de hele ruimte X als domein.

In het voorbeeld uit de motiverende paragraaf is X=Y de verzameling der reële getallen, p=0, en F bevat de onbeperkt differentieerbare (partiële) reële functies.

Bij continue functiekiemen (in een gegeven punt p van X) is Y een topologische ruimte, en F bevat alle continue partiële functies van (een deel van) X naar Y.

Toepassing[bewerken]

De catastrofetheorie classificeert kiemen van differentieerbare functies

f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

op diffeomorfismen (omkeerbare differentieerbare transformaties) van het domein na. Ze kent een bijzondere rol toe aan "stabiele" kiemen, dit zijn kiemen die robuust zijn onder kleine variaties van de beeldverzameling.