Partiële afgeleide

In de multivariabele analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een partiële afgeleide van een functie van een aantal variabelen, de afgeleide waarbij slechts een van de variabelen daadwerkelijk als variabele behandeld wordt en de anderen als constanten (dit in tegenstelling tot de totale afgeleide, waar alle variabelen mogen variëren). Partiële afgeleiden worden gebruikt in de differentiaalmeetkunde en de vectoranalyse.

Neemt men bijvoorbeeld van de functie

$f(x,y)=2x+3xy+5x^{2}+b+7y$

de partiële afgeleide naar $x,$ dan wordt de variabele $y$ als constante behandeld (de constante $b$ blijft natuurlijk constant). Hieruit volgt:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=2+3y+10x$

De partiële afgeleide van een functie $f$ met betrekking tot de variabele $x$ wordt op verschillende manieren aangeduid. Om het onderscheid te maken met de gewone afgeleide gebruikte men het ronde partiële-afgeleidesymbool $\partial$ in plaats van $\mathrm {d} ,$ men noteert:

${\frac {\partial f}{\partial x}},\ \partial _{x}f,\ f_{x}{\text{ of }}f_{x}^{\prime }.$

Het partiële-afgeleidesymbool $\partial$ werd geïntroduceerd door Adrien-Marie Legendre, raakte vervolgens op de achtergrond, maar won na de herintroductie van dit symbool door Carl Jacobi algemene aanvaarding.

Introductie

Een grafiek van $z=x^{2}+xy+y^{2}.$ Voor de partiële afgeleide op punt $(1,1,3)$ die $y$ constant laat, loopt de corresponderende raaklijn parallel aan het $xz$-vlak.

Een segment van de grafiek boven punt $y=1$

Stel dat $f$ een functie is van twee variabelen. Bijvoorbeeld,

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

De grafiek van deze functie definieert een oppervlak in de euclidische ruimte. Voor elk punt op dit oppervlak zijn er een oneindig aantal raaklijnen. Partiële differentiatie is de handeling om een van deze raaklijnen te kiezen en de helling daarvan vinden. Meestal zijn de interessantste lijnen de lijnen die parallel aan het $xz$-vlak en het $yz$-vlak lopen.

Om de helling van de raaklijn aan de functie op $(1,1,3)$ te vinden, die parallel loopt aan het $xz$-vlak, wordt de variabele $y$ als een constante behandeld. De grafiek en dit vlak worden op de afbeelding aan de rechterkant getoond. Op de afbeelding daaronder ziet men hoe de functie eruitziet in het vlak $y=1.$ Door de afgeleide van de vergelijking te vinden, onder de veronderstelling dat $y$ constant is, vindt men dat de helling van $f$ in het punt $(x,y,z)$ gelijk is aan:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$

Door substitutie in punt $(1,1,3)$ vindt men dat de helling in dit punt gelijk is aan 3.

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

Dat wil zeggen dat de partiële afgeleide van $z$ met betrekking tot $x$ in het punt $(1,1,3)$ gelijk is aan 3.

Formele definitie

De precieze definitie van een partiële afgeleide van de functie $f$ naar de variabele $x_{i}$ is als volgt:

Als $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ een functie is van de variabelen $x_{1},\ldots ,x_{n},$ dan geldt:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i}+h,x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h}}$

Hierin staat lim voor de limiet.

De richtingsafgeleide generaliseert dit begrip naar een willekeurige, maar vaste richting.

Hogere partiële afgeleide

De partiële afgeleiden, ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ en ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ van de functie $z=f(x,y)$ zijn vaak zelf functies van $x$ en $y.$ We zouden deze functies nogmaals partieel kunnen differentiëren naar $x$ en/of $y.$ Hierdoor ontstaan 4 partiële afgeleiden van de 2de orde:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}$

${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}$

${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}$

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}$

Volgens de stelling van Schwarz zijn de laatste twee termen gelijk aan elkaar indien ${\frac {\partial z}{\partial x}}$, ${\frac {\partial z}{\partial y}}$ en ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}$ bestaan en continu zijn. In dat geval geldt dus

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}$

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Zij $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ gegeven door $f(x,y)=x^{3}+2xy+{\tfrac {1}{3}}x^{3}y^{4}$. Dan geldt:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}+2y+x^{2}y^{4}$

In feite beschouwen wordt hier de variabele $y$ als constante beschouwd en gedifferentieerd naar de variabele $x.$ Op dezelfde wijze volgt:

${\frac {\partial f}{\partial y}}=2x+{\tfrac {4}{3}}x^{3}y^{3}$

In het tweede geval wordt $x$ beschouwd als een constante.

Voorbeeld 2

We onderzoeken de volgende functie:

$z=f(x,y)={\sqrt {x^{2}+{\tfrac {1}{y}}}}+\arcsin(xy)\,$

${\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}}+{\frac {y}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}+{\frac {y}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}\,$

We beschouwen hier $y$ als een constante

${\frac {\partial z}{\partial y}}={\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}}\cdot (-y^{-2})+{\frac {x}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}={\frac {-1}{2y^{2}{\sqrt {x^{2}+{\frac {1}{y}}}}}}+{\frac {x}{\sqrt {1-(xy)^{2}}}}\,$

We beschouwen hier $x$ als een constante

Voorbeeld 3

In voorbeeld 1 is berekend dat

${\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}+2y+x^{2}y^{4}$

Voor de tweede partiële afgeleide ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$ geldt:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right),$

dus

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(3x^{2}+2y+x^{2}y^{4}\right)=2+4x^{2}y^{3}$