In de multivariabele analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een partiële afgeleide van een functie van een aantal variabelen, de afgeleide waarbij slechts een van de variabelen daadwerkelijk als variabele behandeld wordt en de andere als constanten (dit in tegenstelling tot de totale afgeleide, waar alle variabelen mogen variëren). Partiële afgeleiden worden gebruikt in de differentiaalmeetkunde en de vectoranalyse.
Neemt men bijvoorbeeld van de functie

de partiële afgeleide naar
dan wordt de variabele
als constante behandeld (de constante
blijft natuurlijk constant). Hieruit volgt:

De partiële afgeleide van een functie
met betrekking tot de variabele
wordt op verschillende manieren aangeduid. Om het onderscheid te maken met de gewone afgeleide gebruikt men het ronde partiële-afgeleidesymbool
in plaats van
men noteert:

Het partiële-afgeleidesymbool
werd geïntroduceerd door Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), raakte vervolgens op de achtergrond, maar won na de herintroductie van dit symbool door Carl Jacobi (1804 - 1851)[1] algemene aanvaarding.
Een
grafiek van

Voor de partiële afgeleide op
punt 
die

constant laat, loopt de corresponderende
raaklijn parallel aan het

-
vlak.
Een segment van de grafiek boven punt

Stel dat
een functie is van twee variabelen. Bijvoorbeeld,

De grafiek van deze functie definieert een oppervlak in de euclidische ruimte. Voor elk punt op dit oppervlak zijn er een oneindig aantal raaklijnen. Partiële differentiatie is de handeling om een van deze raaklijnen te kiezen en de helling daarvan vinden. Meestal zijn de interessantste lijnen de lijnen die parallel aan het
-vlak en het
-vlak lopen.
Om de helling van de raaklijn aan de functie op
te vinden, die parallel loopt aan het
-vlak, wordt de variabele
als een constante behandeld. De grafiek en dit vlak worden op de afbeelding aan de rechterkant getoond. Op de afbeelding daaronder ziet men hoe de functie eruitziet in het vlak
Door de afgeleide van de vergelijking te vinden, onder de veronderstelling dat
constant is, vindt men dat de helling van
in het punt
gelijk is aan:

Door substitutie in punt
vindt men dat de helling in dit punt gelijk is aan 3.

Dat wil zeggen dat de partiële afgeleide van
met betrekking tot
in het punt
gelijk is aan 3.
De partiële afgeleide van de functie
, als functie van de variabelen
, naar de variabele
is:

Hierin staat lim voor de limiet.
De richtingsafgeleide generaliseert dit begrip naar een willekeurige, maar vaste richting.
De partiële afgeleiden,
en
van de functie
zijn vaak zelf functies van
en
We zouden deze functies nogmaals partieel kunnen differentiëren naar
en/of
Hierdoor ontstaan 4 partiële afgeleiden van de 2de orde:




Volgens de stelling van Schwarz zijn de laatste twee termen gelijk aan elkaar indien
,
en
bestaan en continu zijn. In dat geval geldt dus

Zij
gegeven door
. Dan geldt:

In feite wordt hier de variabele
als constante beschouwd en gedifferentieerd naar de variabele
Op dezelfde wijze volgt:

In het tweede geval wordt
beschouwd als een constante.
We onderzoeken de volgende functie:


We beschouwen hier
als een constante

We beschouwen hier
als een constante
In voorbeeld 1 is berekend dat

Voor de tweede partiële afgeleide
geldt:

dus
