Jacobi-matrix

De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij $f$ een functie

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$,

dus een functie die $n$ invoerwaarden nodig heeft en $m$ waarden teruggeeft, met

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}))$,

waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix $J(f)$ van $f$ als volgt gedefinieerd:

$J(f)={\frac {\partial (f_{1},\cdots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\cdots ,x_{n})}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

Jacobiaan

In het geval dat $m=n$, dus als de jacobi-matrix vierkant is, heet de determinant van deze matrix de Jacobiaan. Deze komt naar voren bij coördinatentransformaties in integralen in meer dimensies, zoals van cartesische coördinaten naar poolcoördinaten.

Jacobi-matrix en Jacobiaan zijn naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi genoemd, die in zijn loopbaan aan de ontwikkeling van het begrip determinant heeft bijgedragen.

Gradiënt

Als $m=1$, dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft, komt de jacobi-matrix met de gradiënt van $f$ overeen, notatie: $\nabla f$.

Inverse

Volgens de inverse-functiestelling is de jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de jacobi-matrix van de functie zelf. Als $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ in het punt $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ continu en niet-singulier is, dan is $f$ lokaal inverteerbaar in een omgeving van $x_{0}$, en er geldt

$(J_{f^{-1}})(f(x_{0}))=[(J_{f})(x_{0})]^{-1}$

De Jacobiaan kan dus worden gebruikt om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm $f(x)=b$ een oplossing heeft. Als $J(f)(x)$ regulier is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zal $f$ lokaal inverteerbaar zijn in $x$ en zullen er in het algemeen oplossingen zijn van de vergelijking.

Opmerking

De jacobi-matrix is een voorbeeld van een matrix waarbij de elementen niet allemaal dezelfde dimensie hoeven te hebben. De dimensie van ${\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}$ is die van $f_{i}$ gedeeld door die van $x_{j}$ en kan daardoor van $i$ en $j$ afhangen, bijvoorbeeld als het gaat om de Jacobiaan van een coördinatentransformatie.

Voorbeelden

• Transformatie van poolcoördinaten naar cartesische coördinaten bij integreren

De jacobi-matrix $\det J_{f}$ van de transformatie gegeven door:

${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \\y&=r\sin \varphi \end{aligned}}$

van poolcoördinaten $(r,\varphi )$ naar cartesische coördinaten $(x,y)$ is $r$, omdat

$J_{f}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$.

$\det J_{f}=r$

Dat geeft dat

$\iint _{f(A)}f(x,y)\ dx\ dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi )\ r\ dr\ d\varphi$

• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\ =\ {\sqrt {\ \pi \ }}$

Berekening 

Definieer $I\ =\ \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$.

Ga over naar een meervoudige integraal.

$I^{2}\ =\ \int _{x=\infty }^{\infty }\ \int _{y=\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\ {\rm {d}}y\ {\rm {d}}x\ =\ \int _{\varphi =0}^{2\pi }\ \int _{r=0}^{\infty }e^{-r^{2}}\ \det J_{f}\ {\rm {d}}r\ {\rm {d}}\varphi \ =$

$=\ \int _{\varphi =0}^{2\pi }\ \int _{r=0}^{\infty }e^{-r^{2}}\ r\ {\rm {d}}r\ {\rm {d}}\varphi$

Maak gebruik van de kettingregel.

$\int _{\varphi =0}^{2\pi }\ \int _{r=0}^{\infty }e^{-r^{2}}\ r\ {\rm {d}}r\ {\rm {d}}\varphi \ =\ \int _{\varphi =0}^{2\pi }\left[-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}\right]_{r=0}^{\infty }{\rm {d}}\varphi \ =\ \int _{\varphi =0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\ {\rm {d}}\varphi \ =$

$=\ \left[\ {\frac {1}{2}}\ \varphi \ \right]_{\varphi =0}^{2\pi }\ =\ \pi$

Dus is $I\ =\ {\sqrt {\pi \ }}$

Websites

• H Hofstede. De Jacobiaan.