Jacobi-matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij f een functie

(dus een functie die n invoerwaarden nodig heeft en m waarden teruggeeft), met

waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix van als volgt gedefinieerd:

Jacobiaan[bewerken]

In het geval dat , dus als de jacobi-matrix vierkant is, heet de determinant van deze matrix de Jacobiaan. Deze komt onder andere naar voren bij het transformeren van integralen in meer dimensies (zoals van cartesische coördinaten naar poolcoördinaten).

De naam verwijst naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi, die in zijn loopbaan heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van het begrip 'determinant'.

Gradiënt[bewerken]

Als (dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft), wordt de jacobi-matrix meestal gradiënt van (notatie: ) genoemd.

Inverse[bewerken]

Volgens de inverse-functiestelling is de jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de jacobi-matrix van de functie zelf. Als in het punt continu en niet-singulier is, dan is lokaal inverteerbaar in een omgeving van , en er geldt

De Jacobiaan kan dus gebruikt worden om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm een oplossing heeft. Als regulier is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zal lokaal inverteerbaar zijn in en zullen er in het algemeen oplossingen zijn van de vergelijking.

Opmerking[bewerken]

De jacobi-matrix is een voorbeeld van een matrix waarbij de elementen niet allemaal dezelfde dimensie hoeven te hebben. De dimensie van is die van gedeeld door die van , en kan daardoor van i en j afhangen, bijvoorbeeld als het gaat om de Jacobiaan van een coördinatentransformatie.