Poolcoördinaten

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Poolcoördinaten van P
De punten (3, 60°) en (4, 210°) in poolcoördinaten

In de wiskunde kan de plaats van een punt in een vlak vastgelegd worden door middel van coördinaten. Daartoe is een referentiekader nodig. Bij poolcoördinaten bestaat dit in het vlak gelegen referentiekader, uit een vast punt O, de pool, en een halfrechte door dit punt, de poolas.

De coördinaat van een punt P is de afstand OP. Als tweede coördinaat kiest men een waarde van de georiënteerde hoek die de halfrechte van O door P insluit met de vaste halfrechte. De coördinaten en heten poolcoördinaten van het punt P. Uit deze definitie volgt onmiddellijk dat het punt P meerdere paren poolcoördinaten heeft. Als een paar poolcoördinaten van het punt P is, met in radialen, is ook een paar poolcoördinaten van P, en eveneens voor gehele De hoek kan ook in graden worden uitgedrukt. Voor de pool zelf is en onbepaald.

Poolcoördinaten en cartesische coördinaten[bewerken]

Overgang van pool- naar cartesische coördinaten

Het verband tussen de cartesische coördinaten en de poolcoördinaten wordt gegeven door:

Omgekeerd geldt:

Hierin is gebruikgemaakt van de uitgebreidere definitie van de arctangens:

Met behulp van de gewone arctangens kan men de hoek als volgt in het interval bepalen:

Voorbeeld[bewerken]

Nemen we als voorbeeld in de tweedimensionale ruimte het punt met gewone coördinaten:

Het punt met cartesische coördinaten (3,2)
Poolcoördinaten van het punt met cartesische coördinaten (3,2)

Dit punt heeft als poolcoördinaten:

en .

Conördinatentransformatie[bewerken]

De jacobi-matrix van de bovengenoemde overgang van cartesische naar pooolcoördinaten wordt bepaald door:

In matrixnotatie wordt dit:

.

Voor de booglengte geldt

Als men een integraal in het -vlak moet omzetten naar poolcoördinaten en , wordt het verband tussen de oppervlakte-elementjes en gegeven door

De determinant in deze betrekking is de jacobiaan van de coördinatentransformatie:

Vectorveld[bewerken]

Het is gebruikelijk een vectorveld

in poolcoördinaten te ontbinden in een component langs de poolstraal en een component loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt:

Omgekeerd:

Complexe getallen[bewerken]

Een voorbeeld van een complex getal op het complexe vlak

Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om complexe getallen weer te geven in het complexe vlak. Het complexe getal kan carthesisch worden weergeven als: waarin het reële deel is en het imaginaire deel.

Met poolcoördinaten kan geschreven worden als waarin de modulus van is en het argument (in radialen) is.

Voor en is en , en ontstaat de Identiteit van Euler:

Poolvergelijking[bewerken]

richting van de raaklijn in P

Een poolvergelijking is de uitdrukking van een wiskundig verband tussen de variabelen en Dit verband wordt meestal uitgedrukt in de vorm of impliciet als Daarin wordt de hoek altijd uitgedrukt in radialen. Bij een gekozen stelsel poolcoördinaten vormen de oplossingen van een dergelijke vergelijking de grafiek van de poolvergelijking. Eenzelfde grafiek kan bij verschillende poolvergelijkingen horen.

In een poolvergelijking van de vorm mag de hoek in principe alle reële getallen doorlopen.

Oner de richting van een kromme K in een punt verschillend van de pool wordt de richting van de raaklijn in P aan K verstaan, georiënteerd in de zin van toenemende waarden van 'De richting kan bepaald worden uit de hoek tussen de raaklijn in P en de voerstraal OP (zie figuur). Voor deze hoek geldt:

Voor bijvoorbeeld de logaritmische spiraal is constant.

Alternatieve definitie van poolcoördinaten[bewerken]

en zijn twee paren poolcoördinaten van het punt P

In sommige gevallen kan het nuttig dat de voerstraal ook negatieve waarden kan aannemen. Om dit mogelijk te maken kan men uitgaan van een licht gewijzigde definitie van het poolcoördinatenstelsel.

Het referentiekader bestaat dan uit een vast punt O, de pool en een as door dit punt, de poolas. Om de poolcoördinaten van een punt P vast te leggen kiest men een as door OP. De abscis van het punt P op die as (met oorsprong O) is de eerste coördinaat van P. Deze waarde kan negatief zijn. Als tweede coördinaat kiest men een van de mogelijke waarden van de geöriënteerde hoek tussen de as en de poolas. Ook hier kan het punt P meerdere paren poolcoördinaten hebben.

Als een differentieerbare functie van is die door nul gaat voor raakt de door beschreven kromme daar aan de lijn Bij toelaten van een negatieve gaat voor die de kromme door O, anders eindigt de kromme bij O. Als de functie weer door nul gaat bij met voor dan is de kromme bij toelaten van een negatieve een gladde zichzelf in O snijdende kromme. Wordt een negatieve niet toegelaten, dan vervalt het deel en heeft de kromme in O een knik.

In natuurkundige formules betekent vaak de norm (grootte) van de plaatsvector Dat is dan een niet-negatieve grootheid, die dus onderscheiden moet worden van de zoals hier gebruikt, die negatief kan zijn. Een grootheid kan alleen in termen van zo'n laatstgenoemde (en ) worden uitgedrukt als de uitdrukking correct blijft bij negatieve Zo is de grootte van de middelpuntzoekende versnelling dan niet , maar ; anders gezegd: de versnelling is dan in de richting van afnemende en niet noodzakelijk in de richting van afnemende Rekening moeten houden met een negatieve wordt zo al gauw onnodig ingewikkeld.

Voorbeelden[bewerken]

Rechte lijn[bewerken]

De vergelijking in poolcoördinaten van een halfrechte (of als ook negatief kan zijn een rechte lijn) door de pool is van de vorm (constant).

De vergelijking van een rechte lijn die niet door de pool gaat, is

waarin de afstand van de lijn tot de oorsprong is en de richting loodrecht op de lijn.

Een vergelijking van de rechte door de de punten en is

(of negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit).

Cirkel[bewerken]

Een poolvergelijking van een cirkel met middelpunt in de pool en straal is

Een vergelijking van een cirkel met middelpunt en straal is

De grafiek van

is een cirkel met middelpunt door de pool O.

Of negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit.

Kegelsnede[bewerken]

Een poolvergelijking van een kegelsnede met excentriciteit een brandpunt in de pool en de corresponderende richtlijn loodrecht op de poolas is van de vorm

Daarin is nog een parameter.

Als niet negatief mag worden is de grafiek van de vergelijking in het geval van een hyperbool slechts één tak, en moet in de overige gevallen positief zijn. Als een negatieve waarde voor niet wordt toegelaten, zijn en bijvoorbeeld de vergelijkingen van de takken van een hyperbool, maar anders elk de vergelijking van de hele hyperbool.

De poolvergelijking van een ellips met de pool in het middelpunt en de poolas op de lange as, en met lange as en korte as is:

Rotatie en poolvergelijking[bewerken]

Kromme ; in de rechter figuur is niet negatief

Draait men een kromme K met poolvergelijking om de pool over een hoek dan heeft de gewentelde kromme een vergelijking

Voorbeeld

De kromme K is gegeven door de poolvergelijking .Wentelt men de kromme over radialen om de pool, dan is de vergelijking van de gewentelde kromme K':

De krommen K en K' voldoen aan dezelfde vergelijking, ze vallen samen.

Hogere dimensies[bewerken]

Poolcoördinaten zijn ook geschikt voor gebruik in meer dan twee dimensies. Er zijn verschillende generalisaties mogelijk. In het algemeen geldt dat een punt in de -dimensionale ruimte geïdentificeerd wordt door , een voerstraal en welgedefinieerde hoeken.

Externe links[bewerken]

Zie ook[bewerken]