Kegelsnede

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Soorten kegelsneden: 1. parabool, 2. cirkel en ellips, 3. hyperbool
Mogelijke kegelsneden die ontstaan bij het snijden van een kegel met een vlak

Een kegelsnede is een vlakke kromme die ontstaat door het snijden van een kegel (eigenlijk een dubbele kegel) met een plat vlak. Kegelsneden werden reeds 200 jaar v.Chr. bestudeerd door Apollonius van Perga. Afhankelijk van de manier waarop de kegel wordt gesneden, ontstaan verschillende meetkundige krommes: een cirkel, een ellips, een parabool of een hyperbool. Een cirkel is een speciaal geval van een ellips, een parabool is op te vatten als een grensgeval tussen een ellips en een hyperbool.

Cirkels, ellipsen en hyperbolen worden wel centrale kegelsneden genoemd omdat ze, in tegenstelling tot een parabool, een middelpunt hebben.

Een kegelsnede wordt vastgelegd door vijf punten waarvan er geen drie op één lijn liggen of door vijf raaklijnen aan een punt op de kegelsnede, waarvan er geen drie door één punt gaan.

Toepassingen[bewerken]

Het tweelichamenprobleem heeft de kegelsneden als oplossingen.

Een kogelbaan is bij verwaarlozing van luchtweerstand een kegelsnede die afhangt van het gravitatiemodel: bij een uniform gravitatieveld is het een parabool. Als met de kromming van de aarde rekening wordt gehouden, is de baan een stukje van een ellips, met verticale lange as.

Excentriciteit[bewerken]

Parabool ellips hyperbool.svg

Vergelijk de ellips, parabool en hyperbool met elkaar. Het verschil tussen deze wordt bepaald door hun excentriciteit.

Ellips[bewerken]

Gegeven zijn twee punten, de brandpunten en , op onderlinge afstand , en een getal , dan is de ellips de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan .

Parabool[bewerken]

Gegeven zijn een lijn , de richtlijn, en een punt , het brandpunt, niet op de lijn gelegen, dan is de parabool de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot de richtlijn gelijk is aan de afstand tot het brandpunt.

Hyperbool[bewerken]

Gegeven zijn twee punten, de brandpunten en , op onderlinge afstand , en een getal , dan is de hyperbool de meetkundige plaats van de punten waarvoor het verschil van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan .

.

Meetkundige plaats[bewerken]

Het is ook mogelijk een gemeenschappelijke meetkundige definitie te geven voor deze drie types kegelsneden. Gegeven zijn een lijn de richtlijn, een punt het brandpunt, dat niet op de richtlijn ligt, en een positief getal , de excentriciteit, dan is de meetkundige plaats van de punten die voldoen aan:

een ellips indien , een parabool als en een hyperbool als .

Vergelijking[bewerken]

In een cartesiaans assenstelstel is de vergelijking van een kegelsnede van de vorm

.

Het is een kwadratische vergelijking in twee variabelen en . Als

  • , is de vergelijking een parabool,
  • , is de vergelijking een ellips,
  • , is de vergelijking een hyperbool,
  • en , is de vergelijking een cirkel,
  • , is het een rechthoekige hyperbool.

Matrixvergelijking van een kegelsnede[bewerken]

De symmetrische matrix

heet de kubische matrix van de kegelsnede bepaald door de vergelijking

Deze vergelijking kan geschreven worden als

met

Raaklijn in een punt van een kegelsnede[bewerken]

De vergelijking van de raaklijn in het punt van de kegelsnede gegeven door de kubische matrix kan geschreven worden als

Voorbeeld

De raaklijn in het punt van de kegelsnede met vergelijking

wordt gegeven door de vergelijking

Raaklijn vanuit een punt aan een kegelsnede[bewerken]

Raaklijnen uit een punt aan een kegelsnede

De verbindingslijn van de raakpunten van de raaklijnen uit een punt aan een kegelsnede met matrixvergelijking heet de raakkoorde corresponderend met punt . Als de raakkoorde bekend is, is het mogelijk de raaklijnen uit aan de kegelsnede te berekenen.

De raakkoorde corresponderend met het punt heeft de vergelijking

Hierin is de kubische matrix van de kegelsnede . Zodra die raakkoorde bekend is, kunnen de snijpunten van en de kegelsnede berekend worden. Die snijpunten en zijn de raakpunten van de raaklijnen uit het punt aan de kegelsnede. De gevraagde raaklijnen zijn dan de lijnen en .

Voorbeeld[bewerken]

We berekenen de raaklijnen uit punt aan de kegelsnede met vergelijking

De raakkoorde corresponderend met het punt heeft als vergelijking

De snijpunten en van die raakkoorde met de kegelsnede zijn de oplossingen van het stelsel

De oplossingen zijn en .

De raaklijn heeft vergelijking .

De raaklijn heeft vergelijking .

Middelpunt van een ellips of hyperbool[bewerken]

Het middelpunt van een ellips of hyperbool is het symmetriepunt van de figuur. De coördinaten van het middelpunt van zo'n kegelsnede met vergelijking zijn de oplossingen van het stelsel

Ontaarde kegelsneden[bewerken]

Behalve deze 'standaard' kegelsneden zijn er ook nog ontaarde kegelsneden. Deze worden gevormd door het snijvlak door de top van de kegel te laten gaan. Dit geeft een punt, een rechte of twee snijdende rechten.

Een kegelsnede is ontaard als zijn vergelijking kan worden ontbonden als een product van twee lineaire vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten. De grafiek valt dan uiteen in twee reële of twee imaginaire rechten. Het zijn de componenten van de ontaarde kegelsnede. Het snijpunt van die rechten heet het dubbelpunt. Wanneer de twee rechten samenvallen is ieder punt een dubbelpunt. Zo is de kegelsnede met vergelijking ontaard in de reële rechten met vergelijking en . Het punt (3,0) is het dubbelpunt. De kegelsnede ontaardt in de imaginaire rechten en en het reële dubbelpunt ligt in de oorsprong (0,0).

Een parabool ontaardt in twee evenwijdige rechten en een ellips in twee toegevoegd imaginaire rechten. Een hyperbool ontaardt in twee snijdende reële rechten.

De kegelsnede met vergelijking ontaardt enkel en alleen als

De determinant heet de kubische determinant van de kegelsnede.

Zie ook[bewerken]