Bolcoördinaten

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een punt kan ook aangeduid worden met behulp van de lengte r van de voerstraal en twee hoeken, en

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt de afstand van het driedimensionale punt P tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. Als tweede coördinaat gebruikt men de hoek die de lijn OP met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval De derde coördinaat is de hoek in het xy-vlak.

Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde. In wiskundige context worden vaak de rollen van en omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van het symbool gebruikt.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten en de bolcoördinaten wordt gegeven door:

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor doet de hoek niet meer ter zake en geldt . Evenzo: voor geldt .

Jacobiaan[bewerken]

De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

Omgekeerd

Coördinatentransformatie[bewerken]

Een functie f van de drie veranderlijken x, y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

Een vectorveld F, met in het punt (x,y,z) de componenten

en ,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal en loodrecht daarop in een component in de "richting" van en in de "richting" van , de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door in het vlak door en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

Omgekeerd:

Voorbeeld[bewerken]

De functie f gedefinieerd door:

heeft in bolcoördinaten de vorm:

Het vectorveld F gedefinieeerd door:

heeft in bolcoördinaten de vorm:



Zie ook[bewerken]