Een punt kan ook aangeduid worden met behulp van de lengte
r van de voerstraal en twee
hoeken ,
θ
{\displaystyle \theta }
en
φ
{\displaystyle \varphi }
Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel , vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten . Net als in twee dimensies wordt de afstand
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
z-as maakt, dus met een waarde in het interval
[
0
,
π
]
.
{\displaystyle [0,\pi ].}
φ
{\displaystyle \varphi }
Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde . In wiskundige context worden vaak de rollen van
θ
{\displaystyle \theta }
φ
{\displaystyle \varphi }
r
{\displaystyle r}
ρ
{\displaystyle \rho }
Het verband tussen de Cartesische coördinaten
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
x
=
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
{\displaystyle x=r\ \sin(\theta )\cos(\varphi )}
y
=
r
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
{\displaystyle y=r\ \sin(\theta )\sin(\varphi )}
z
=
r
cos
(
θ
)
{\displaystyle z=r\ \cos(\theta )}
Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
φ
{\displaystyle \varphi }
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
,
r
)
{\displaystyle (x,y,z)=(0,0,r)}
θ
=
π
{\displaystyle \theta =\pi }
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
,
−
r
)
{\displaystyle (x,y,z)=(0,0,-r)}
De Jacobi-matrix van deze transformatie is:
J
=
∂
(
r
,
θ
,
φ
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
=
[
x
r
y
r
z
r
x
z
r
2
x
2
+
y
2
y
z
r
2
x
2
+
y
2
−
(
x
2
+
y
2
)
r
2
x
2
+
y
2
−
y
x
2
+
y
2
x
x
2
+
y
2
0
]
=
[
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
cos
(
θ
)
1
r
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
1
r
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
−
1
r
sin
(
θ
)
−
1
r
sin
(
φ
)
sin
(
θ
)
1
r
cos
(
φ
)
sin
(
θ
)
0
]
{\displaystyle J={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&\sin(\theta )\sin(\varphi )&\cos(\theta )\\{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\cos(\varphi )&{\frac {1}{r}}\cos(\theta )\sin(\varphi )&-{\frac {1}{r}}\sin(\theta )\\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin(\varphi )}{\sin(\theta )}}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos(\varphi )}{\sin(\theta )}}&0\end{bmatrix}}}
Omgekeerd
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
r
,
θ
,
φ
)
=
[
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
r
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
−
r
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
r
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
cos
(
θ
)
−
r
sin
(
θ
)
0
]
=
[
x
r
z
x
x
2
+
y
2
−
y
y
r
z
y
x
2
+
y
2
x
z
r
−
x
2
+
y
2
0
]
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{bmatrix}\sin(\theta )\cos(\varphi )&r\cos(\theta )\cos(\varphi )&-r\sin(\theta )\sin(\varphi )\\\sin(\theta )\sin(\varphi )&r\cos(\theta )\sin(\varphi )&r\sin(\theta )\cos(\varphi )\\\cos(\theta )&-r\sin(\theta )&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {zx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&-y\\{\frac {y}{r}}&{\frac {zy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&x\\{\frac {z}{r}}&-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}}
Coördinatentransformatie [ bewerken ] Een functie f van de drie veranderlijken x , y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:
f
B
(
r
,
θ
,
φ
)
=
f
(
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
,
r
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
,
r
cos
(
θ
)
)
.
{\displaystyle f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\ \sin(\theta )\cos(\varphi ),r\ \sin(\theta )\sin(\varphi ),r\ \cos(\theta )).\,}
Een vectorveld F , met in het punt (x,y,z) de componenten
F
x
(
x
,
y
,
z
)
,
F
y
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z)\,}
F
z
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle F_{z}(x,y,z)\,}
wordt ontbonden in een component langs de voerstraal
r
{\displaystyle r}
φ
{\displaystyle \varphi }
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
F
r
=
F
x
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
F
y
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
+
F
z
cos
(
θ
)
{\displaystyle F_{r}=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )\!}
F
θ
=
−
F
x
sin
(
φ
)
+
F
y
cos
(
φ
)
{\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )\!}
F
φ
=
F
x
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
F
y
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
−
F
z
sin
(
θ
)
{\displaystyle F_{\varphi }=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )\!}
Omgekeerd:
F
x
=
F
r
cos
(
φ
)
sin
(
θ
)
−
F
φ
sin
(
φ
)
+
F
θ
cos
(
φ
)
cos
(
θ
)
{\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos(\varphi )\sin(\theta )-F_{\varphi }\sin(\varphi )+F_{\theta }\cos(\varphi )\cos(\theta )\!}
F
y
=
F
r
sin
(
φ
)
sin
(
θ
)
+
F
φ
cos
(
φ
)
+
F
θ
sin
(
φ
)
cos
(
θ
)
{\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin(\varphi )\sin(\theta )+F_{\varphi }\cos(\varphi )+F_{\theta }\sin(\varphi )\cos(\theta )\!}
F
z
=
F
r
cos
(
θ
)
−
F
θ
sin
(
θ
)
{\displaystyle F_{z}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )\!}
De functie f gedefinieerd door:
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,}
heeft in bolcoördinaten de vorm:
f
B
(
r
,
θ
,
φ
)
=
f
(
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
,
r
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
,
r
cos
(
θ
)
)
=
{\displaystyle f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\ \sin(\theta )\cos(\varphi ),r\ \sin(\theta )\sin(\varphi ),r\ \cos(\theta ))=}
(
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
)
2
+
(
r
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
)
2
+
(
r
cos
(
θ
)
)
2
=
r
2
{\displaystyle (r\ \sin(\theta )\cos(\varphi ))^{2}+(r\ \sin(\theta )\sin(\varphi ))^{2}+(r\ \cos(\theta ))^{2}=r^{2}\,}
Het vectorveld F gedefinieeerd door:
F
x
(
x
,
y
,
z
)
=
x
{\displaystyle F_{x}(x,y,z)=x}
F
y
(
x
,
y
,
z
)
=
y
{\displaystyle F_{y}(x,y,z)=y}
F
z
(
x
,
y
,
z
)
=
z
{\displaystyle F_{z}(x,y,z)=z}
heeft in bolcoördinaten de vorm:
F
r
(
r
,
θ
,
φ
)
=
F
x
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
F
y
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
+
F
z
cos
(
θ
)
=
{\displaystyle F_{r}(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\sin(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\sin(\theta )\sin(\varphi )+F_{z}\cos(\theta )=\!}
x
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
y
sin
(
θ
)
sin
(
φ
)
+
z
cos
(
θ
)
=
r
{\displaystyle x\sin(\theta )\cos(\varphi )+y\sin(\theta )\sin(\varphi )+z\cos(\theta )=r\,}
F
θ
(
r
,
θ
,
φ
)
=
−
F
x
sin
(
φ
)
+
F
y
cos
(
φ
)
=
−
x
sin
(
φ
)
+
y
cos
(
φ
)
=
0
{\displaystyle F_{\theta }(r,\theta ,\varphi )=-F_{x}\sin(\varphi )+F_{y}\cos(\varphi )=-x\sin(\varphi )+y\cos(\varphi )=0\,}
F
φ
(
r
,
θ
,
φ
)
=
F
x
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
F
y
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
−
F
z
sin
(
θ
)
=
{\displaystyle F_{\varphi }(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\cos(\theta )\cos(\varphi )+F_{y}\cos(\theta )\sin(\varphi )-F_{z}\sin(\theta )=\!}
x
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
y
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
−
z
sin
(
θ
)
=
0
{\displaystyle x\cos(\theta )\cos(\varphi )+y\cos(\theta )\sin(\varphi )-z\sin(\theta )=0\,}
![[0,\pi ].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48987c456d3690defb03a28f26f3a1132a30d333)
