Bolcoördinaten

Een punt kan ook aangeduid worden met behulp van de lengte r van de voerstraal en twee hoeken, $\theta$ en $\varphi$

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt de afstand $r$ van het driedimensionale punt P tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. Als tweede coördinaat gebruikt men de hoek $\theta$ die de lijn OP met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval $[0,\pi ]$. De derde coördinaat is de hoek $\varphi$ in het xy-vlak.

Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde. In wiskundige context worden vaak de rollen van $\theta$ en $\varphi$ omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van $r$ het symbool $\rho$ gebruikt.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten $(x,y,z)$ en de bolcoördinaten $(r,\theta ,\varphi )$ wordt gegeven door:

$x=r\sin \theta \cos \varphi$

$y=r\sin \theta \sin \varphi$

$z=r\cos \theta$

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor $\theta =0$ doet de hoek $\varphi$ niet ter zake en geldt $(x,y,z)=(0,0,r)$. Evenzo: voor $\theta =\pi$ geldt $(x,y,z)=(0,0,-r)$. Voor $r=0$ doen de hoeken $\theta$ en $\varphi$ niet ter zake en geldt $(x,y,z)=(0,0,0)$.

Jacobiaan

De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

$J={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{bmatrix}}$

Omgekeerd

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {zx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&-y\\{\frac {y}{r}}&{\frac {zy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&x\\{\frac {z}{r}}&-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}$

Coördinatentransformatie

Een functie f van de drie veranderlijken x, y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

$f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta ).\,$

Een vectorveld F, met in het punt (x,y,z) de componenten

$F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z)\,$ en $F_{z}(x,y,z)\,$,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal $r$ en loodrecht daarop in een component in de "richting" van $\varphi$ en in de "richting" van $\theta$, de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door $r$ in het vlak door $r$ en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door $r$ en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

$F_{r}=F_{x}\sin \theta \cos \varphi +F_{y}\sin \theta \sin \varphi +F_{z}\cos \theta$

$F_{\theta }=-F_{x}\sin \varphi +F_{y}\cos \varphi$

$F_{\varphi }=F_{x}\cos \theta \cos \varphi +F_{y}\cos \theta \sin \varphi -F_{z}\sin \theta$

Omgekeerd:

$F_{x}=F_{r}\cos \varphi \sin \theta -F_{\varphi }\sin \varphi +F_{\theta }\cos \varphi \cos \theta$

$F_{y}=F_{r}\sin \varphi \sin \theta +F_{\varphi }\cos \varphi +F_{\theta }\sin \varphi \cos \theta$

$F_{z}=F_{r}\cos \theta -F_{\theta }\sin \theta$

Voorbeeld

De functie f gedefinieerd door:

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )=$

$(r\sin \theta \cos \varphi )^{2}+(r\sin \theta \sin \varphi )^{2}+(r\cos \theta )^{2}=r^{2}\,$

Het vectorveld F gedefinieeerd door:

$F_{x}(x,y,z)=x$

$F_{y}(x,y,z)=y$

$F_{z}(x,y,z)=z$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$F_{r}(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\sin \theta \cos \varphi +F_{y}\sin \theta \sin \varphi +F_{z}\cos \theta =$

$x\sin \theta \cos \varphi +y\sin \theta \sin \varphi +z\cos \theta =r\,$

$F_{\theta }(r,\theta ,\varphi )=-F_{x}\sin \varphi +F_{y}\cos \varphi =-x\sin \varphi +y\cos \varphi =0\,$

$F_{\varphi }(r,\theta ,\varphi )=F_{x}\cos \theta \cos \varphi +F_{y}\cos \theta \sin \varphi -F_{z}\sin \theta =$

$x\cos \theta \cos \varphi +y\cos \theta \sin \varphi -z\sin \theta =0\,$

Coördinaten op een boloppervlak

Een boloppervlak met straal $R$ heeft in bolcoördinaten de vergelijking $r=R$ indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde $\theta$ wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten $x,y,z$ en de bolcoördinaten $\theta ,\varphi$ op het boloppervlak met straal $r$ wordt dan dus gegeven door:

$x=r\cos \theta \cos \varphi$

$y=r\cos \theta \sin \varphi$

$z=r\sin \theta$

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor $\theta$ breedte, voor $\varphi$ lengte, voor het punt $\theta =\pi /2$ noordpool, voor het punt $\theta =-\pi /2$ zuidpool, en voor het vlak $\theta =0$ basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met $\theta$ aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting $\varphi =0$.

Geografische coördinaten corresponderen met een x-, y- en z-as volgens de rechterhandregel, met een positieve x-as die de Aarde snijdt in 0° NB 0° OL, een positieve y-as in 0° NB 0° OL en een positieve z-as in 90° NB. Als oosterlengte positief gerekend wordt correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve z-richting.

Zie ook

• Gegeneraliseerde coördinaten
• Cilindercoördinaten