Bolcoördinaten

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een punt kan ook aangeduid worden met behulp van de lengte r van de voerstraal en twee hoeken, en

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt de afstand van het driedimensionale punt P tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. Als tweede coördinaat gebruikt men de hoek die de lijn OP met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval . De derde coördinaat is de hoek in het xy-vlak.

Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde. In wiskundige context worden vaak de rollen van en omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van het symbool gebruikt.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten en de bolcoördinaten wordt gegeven door:

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor doet de hoek niet ter zake en geldt . Evenzo: voor geldt . Voor doen de hoeken en niet ter zake en geldt .

Jacobiaan[bewerken]

De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

Omgekeerd

Coördinatentransformatie[bewerken]

Een functie f van de drie veranderlijken x, y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

Een vectorveld F, met in het punt (x,y,z) de componenten

en ,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal en loodrecht daarop in een component in de "richting" van en in de "richting" van , de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door in het vlak door en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

Omgekeerd:

Voorbeeld[bewerken]

De functie f gedefinieerd door:

heeft in bolcoördinaten de vorm:

Het vectorveld F gedefinieeerd door:

heeft in bolcoördinaten de vorm:

Coördinaten op een boloppervlak[bewerken]

Een boloppervlak met straal heeft in bolcoördinaten de vergelijking indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten en de bolcoördinaten op het boloppervlak met straal wordt dan dus gegeven door:

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor breedte, voor lengte, voor het punt noordpool, voor het punt zuidpool, en voor het vlak basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting .

Geografische coördinaten corresponderen met een x-, y- en z-as volgens de rechterhandregel, met een positieve x-as die de Aarde snijdt in 0° NB 0° OL, een positieve y-as in 0° NB 0° OL en een positieve z-as in 90° NB. Als oosterlengte positief gerekend wordt correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve z-richting.

Zie ook[bewerken]