Sfeer (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Een twee-dimensionale perspectivische projectie van een sfeer

In de meetkunde is een sfeer of boloppervlak een driedimensionale figuur die gevormd wordt door alle punten die op gelijke afstand liggen van een vast punt, het middelpunt van de sfeer. De term 'sfeer' brengt duidelijkheid in de verwarring tussen de opvatting van een bol als oppervlak of als lichaam. Een bol kan zowel opgevat worden als driedimensionale generalisatie van de cirkel, als van de cirkelschijf.

Daarnaast wordt met een open bol de open verzameling punten binnen een sfeer en met een gesloten bol de gesloten verzameling punten binnen een sfeer bedoeld.

Andere talen[bewerken]

In andere talen bestaat de verwarring tussen het oppervlak en het massieve lichaam ook. In het Engels is 'sphere' van oorsprong zowel een sfeer, als een bol (massief). Men maakt in het Engels wel onderscheid tussen sphere als sfeer en 'ball' als massieve bol. In het Duits betekent 'Kugel' zowel sfeer als massieve bol, en heeft men daarnaast het woord 'Sphäre' voor sfeer. In het Frans bestaat dezelfde tweeduidigheid met het woord 'boule, en gebruikt men sfère voor sfeer.

Klassieke definitie[bewerken]

Een sfeer is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die op een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt (het middelpunt van de sfeer). De sfeer met straal en middelpunt

De sfeer kan ook vastgelegd worden door een vergelijking. De sfeer met oorsprong in het punt en straal is in cartesische coördinaten gegeven door:

Het oppervlak van een sfeer met straal heeft grootte

De eenheidsbol (eenheidssfeer) is de sfeer met de oorsprong als middelpunt en straal 1.

Willekeurige dimensie[bewerken]

Voor ieder natuurlijk getal definieert men de -sfeer met middelpunt en straal als

met als speciaal geval de eenheidsbol in dimensies

Het getal is de dimensie van opgevat als topologische variëteit; intuïtief is dit het aantal vrijheidsgraden. Zo is de cirkel lokaal gezien een eendimensionale lijn, en het boloppervlak lokaal een tweedimensionaal vlak.

Het gehanteerde afstandsbegrip komt meestal met de gewone metriek overeen.

De sfeer is de rand van de gegeneraliseerde bol in dimensies.

In dimensies is de gegeneraliseerde bol gedefinieerd als

met als speciaal geval de eenheidsbol

De bol is een fundamenteel begrip in veel metrische ruimtes, en wordt – afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde – uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of riemannse variëteit.

Het vermoeden van Poincaré betreft een voldoende voorwaarde opdat een gegeven driedimensionale variëteit topologisch equivalent is met de driesfeer .

De driesfeer wordt soms “aanschouwelijk” gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van :

De topologische zevensfeer kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Een daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende euclidische ruimte , de andere 27 zijn voorbeelden van exotische differentiaalstructuren.

De stelling van Borsuk-Ulam gaat over continue afbeeldingen van de -sfeer naar de -dimensionale euclidische ruimte.

Andere metrieken[bewerken]

In een willekeurige metrische ruimte , of zelfs een pseudometrische ruimte, is de sfeer met middelpunt en straal op analoge wijze gedefinieerd:

Is bijvoorbeeld het vlak uitgerust met de Manhattan-metriek

,

dan hebben de cirkels de vorm van vierkanten waarvan de zijden een hoek van 45° maken met de coördinaatassen.

Riemann-sfeer[bewerken]

De riemann-sfeer is het riemann-oppervlak dat ontstaat door aan het complexe vlak één punt toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van bepaald wordt door de afbeelding

,

als een kaart met kromlijnige coördinaten van het complexe vlak te beschouwen.

Topologisch is de Riemann-sfeer gelijkwaardig met de gewone eenheidsbol .

Meetkundig modelleert de riemann-sfeer de complexe projectieve lijn .