Riemann-variëteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een riemann-variëteit een reële differentieerbare variëteit waarvan in elk punt de raakruimte is uitgerust met een inproduct , een riemann-metriek, op een wijze die van punt tot punt glad varieert. De metriek is een positief definiete symmetrische tensor, een zogenaamde metrische tensor.

In andere woorden is een riemann-variëteit een differentieerbare variëteit, waar de raakruimte in elk punt een eindig-dimensionale euclidische ruimte is, waar aan elk punt een zekere metriek kan worden toegekend. Als metriek kan men verschillende meetkundige begrippen, zoals hoeken, lengten van krommen, oppervlakken (of volumen), kromming, de gradiënt van functies en de divergentie van vectorvelden, op een riemann-variëteit definiëren.

De riemann-variëteit is naast de lorentz-variëteit de meest gangbare wiskundige vertaling van het begrip gekromde ruimte. Bernhard Riemann, naar wie het begrip genoemd is, onderzocht intrinsieke eigenschappen van oppervlakken en andere gekromde ruimten, dat wil zeggen eigenschappen die niet afhangen van een inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte of van het gebruik van een welbepaald coördinatenstelsel.

Riemann-variëteiten moeten niet worden verward met riemann-oppervlakken, variëteiten die lokaal als patches van het complexe vlak verschijnen.

Definitie[bewerken]

Zij een -dimensionale gladde variëteit, waarvoor in elk punt een inproduct gedefinieerd is op de raakruimte aan in .

In termen van een lokaal coördinatenstelsel wordt het inproduct volledig vastgelegd door wat het met de basisvectoren

(de partiële afgeleiden van positie naar elke coördinaat) doet. Noteer .

Als de functies glad (onbeperkt differentieerbaar) zijn in hun afhankelijkheid van , dat wil zeggen als functies van , heet een riemann-metriek op en het paar een riemann-variëteit.

Technisch kan men beschouwen als een sectie van de bundel

(tweederangs-cotensoren), waarin

de corakende bundel van is.

Voorbeelden[bewerken]

De euclidische ruimte is zelf een gladde variëteit, en de raakruimte in ieder punt is een kopie van . Door elk van deze vectorruimten uit te rusten met het standaardinproduct

wordt de euclidische ruimte zelf een riemann-variëteit. De identieke transformatie is een kaart van , en ten opzichte van dat coördinatenstelsel is

waar we noteren voor de Kroneckerdelta: 1 als , 0 als .

Als niet-triviaal voorbeeld beschouwen we , de eenheidssfeer in . De raakruimte van in een punt kan gemodelleerd worden door het overeenkomstige raakvlak aan in . Als oorsprong van de vectorruimte nemen we het raakpunt zelf.

Deze raakruimten erven het inproduct van de euclidische ruimte zoals beschreven in het vorige voorbeeld.

Beschouw de kaart op (een deel van) die gedefinieerd wordt door de twee hoeken van de bolcoördinaten: is het azimut ten opzichte van de -as, en de elevatie ten opzichte van het XY-equatorvlak (vgl. met geografische lengte resp. geografische breedte).

In een gegeven punt vormen de basisvectoren en weliswaar een orthogonale basis, maar geen orthonormale basis. De vector is een eenheidsvector, maar de vector heeft lengtekwadraat

Afgeleide begrippen[bewerken]

Met behulp van de metriek worden uiteindelijk alle verdere lokale begrippen uit de differentiaalmeetkunde gedefinieerd. Enkele voorbeelden:

Algemene vormen[bewerken]

Een belangrijk deel van de differentiaalmeetkunde blijft nog overeind als we veronderstellen dat de symmetrische bilineaire vorm niet noodzakelijk positief-definiet, maar wel overal niet-ontaard is in de zin dat de determinant van de bijhorende vierkante matrix der functies nergens nul is.

Een dergelijke constructie heet pseudo-riemann-variëteit.

Als de determinant nergens nul is, en is samenhangend, dan is de index van constant (als hij constant 0 is, dan is positief definiet en hebben we een gewone riemann-variëteit).

Een lorentz-variëteit is een semi-riemann-variëteit waarvan de metrische tensor overal index 1 heeft, dat wil zeggen dat een van de eigenwaarden negatief is, en alle andere positief. Meestal wordt aangenomen dat de dimensie minstens 2 bedraagt.

Lorentz-variëteiten modelleren de ruimtetijd in de speciale en in de algemene relativiteitstheorie.