Differentiaalvorm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een differentiaalvorm is een object uit de meetkunde. Het geeft een precieze betekenis aan begrippen als "georiënteerd volume van een deelruimte" of "georiënteerde integraal over een deelruimte". Het veralgemeent onder meer:

Differentiaalvormen leven in het algemeen op gladde variëteiten, dat zijn gekromde ruimten waarvan de punten plaatselijk kunnen beschreven worden met coördinaten. Dit artikel begint echter met de definitie van differentiaalvormen op de n-dimensionale reële Euclidische ruimte \mathbb{R}^n.

Definitie[bewerken]

Zij k een natuurlijk getal. Het k-voudige uitwendig product van \mathbb{R}^n met zichzelf is het antisymmetrisch tensorproduct, dus een quotiënt van het gewone tensorproduct waarbij sommige elementen met elkaar of met elkaars tegengestelde worden geïdentificeerd. Meer bepaald blijft het antisymmetrisch tensorproduct van k vectoren ongewijzigd onder een even permutatie, en verwisselt het van teken onder een oneven permutatie.

\Lambda^k\left(\mathbb{R}^n\right)=\otimes^k\left(\mathbb{R}^n\right)/\left\langle
\left\{v_1\otimes\ldots\otimes v_n-(-1)^\sigma v_{\sigma(1)}\otimes\ldots\otimes v_{\sigma(n)}|v_1,\ldots,v_n\in\mathbb{R}^n,\,\sigma\in S_k\right\}
\right\rangle

Hier is Sk de symmetrische groep (permutatiegroep) op k elementen, en (-1)^\sigma is 1 of -1 naargelang de permutatie \sigma even of oneven is.

Een homogene differentiaalvorm van rang k, kortweg k-vorm, is een gladde functie van \mathbb{R}^n naar \Lambda^k(\mathbb{R}^n).

Opmerkingen[bewerken]

Voor k>n is \Lambda^k(\mathbb{R}^n)\simeq\{0\}. Men bestudeert dus gewoonlijk slechts differentiaalvormen van orde k=0,1,...,n.

Voor k=0 is \Lambda^k(\mathbb{R}^n)\simeq\mathbb{R}. De 0-vormen zijn dus gewoon de gladde reële functies op \mathbb{R}^n, in deze context ook scalairen genoemd.

De dimensie van \Lambda^k(\mathbb{R}^n) is gelijk aan het aantal combinaties van k uit n

Basis[bewerken]

Noteer {dx1,dx2,...,dxn} voor de standaardbasis van \mathbb{R}^n. Zij 1≤j1<j2<...<jkn. Noteer

dx^{j_1}\wedge dx^{j_2}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}

voor het beeld van

dx^{j_1}\otimes dx^{j_2}\otimes\cdots\otimes dx^{j_k}

onder de canonische surjectie

\otimes^k\left(\mathbb{R}^n\right)\to\Lambda^k\left(\mathbb{R}^n\right)

De vectoren

\left\{dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}|1\leq j_1<\ldots<j_k\leq n\right\}

vormen een basis voor \Lambda^k\left(\mathbb{R}^n\right). Elke k-vorm kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze vectoren met als coëfficiënten, gladde functies van \mathbb{R}^n naar \mathbb{R}:

w(x^1,\ldots,x^n)=\sum_{1\leq j_1<\ldots<j_k\leq n}w_{j_1<\cdots<j_k}(x^1,\ldots,x^n)dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}.

Interpretatie en voorbeelden[bewerken]

Intuïtief is een k-vorm een georiënteerde volumemeting in k dimensies. Formeel is het een som van 0 of meer objecten van de vorm

f(x^1,\ldots,x^n)dx^{j_1}\wedge dx^{j_2}\wedge\cdots\wedge dx^{j_k}

In drie dimensies definiëren we bijvoorbeeld een 2-vorm w en een 1-vorm q door

w=x^1dx^1\wedge dx^2+x^1dx^1\wedge dx^3
q=\sin(x^1-x^2)dx^3+x^2x^3dx^1

Uitwendige afgeleide[bewerken]

De uitwendige afgeleide of differentiaal van een k-vorm w is een k+1-vorm, genoteerd dw, met de volgende definitie

d\left(f(x^1,\ldots,x^n)dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\right)=
\sum_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^j}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\wedge dx^j

en verder op sommen van dergelijke k-vormen en op niet-homogene differentiaalvormen door lineariteit.

In bovenstaande som zijn hoogstens n-k van de n termen verschillend van nul, want door antisymmetrie is dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\wedge dx^j=0 als minstens één van de indices i1...ik gelijk is aan j.

Voorbeelden[bewerken]

Zij w1 de 2-vorm gegeven door

w_1=\sin(x^3)dx^1\wedge dx^2

Dan is zijn uitwendige afgeleide

dw_1=\cos(x^3)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3

De volgende 2-vormen hebben telkens uitwendige afgeleide 0:

w_2=x^1dx^1\wedge dx^2+x^1dx^1\wedge dx^3
w_3=\cos(x^3)dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3

Algemene definitie in gekromde ruimten[bewerken]

Zij M een n-dimensionale gladde variëteit met rakende bundel TM. De coraakruimte T*M is de duale bundel. De uitwendige algebra over T*M, genoteerd \wedge\left(T^*M\right), is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van T*M met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van de tensoralgebra van T*M over een (tweezijdig) ideaal zoals hierboven bij de reële Euclidische ruimte.

De antisymmetrie in de definitie impliceert dat in de oneindige directe som alleen de eerste n+1 termen (k van 0 tot en met n) niet-triviaal zijn.

Een differentiaalvorm over M is een sectie van de bundel \wedge\left(T^*M\right). Een k-vorm (of homogene differentiaalvorm van rang k) over M is een sectie van de deelruimte \wedge^k\left(T^*M\right) der antisymmetrische k-lineaire vormen (cotensoren van rang k).

Schrijfwijze in lokale coördinaten[bewerken]

In een coördinatenstelsel (x1,...,xn) is een differentiaalvorm een uitdrukking van de vorm

f(x^1,\ldots,x^n)+f_1(x^1,\ldots,x^n)dx^1+\ldots+f_n(x^1,\ldots,x^n)dx^n+f_{12}(x^1,\ldots,x^n)dx^1\wedge dx^2+\ldots+f_{12\cdots n}(x^1,\ldots,x^n)dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

Een k-vorm is een dergelijke uitdrukking waarbij alleen termen met uitwendige producten van precies k covectoren optreden. Bij een coördinatentransformatie gedraagt elke term afzonderlijk zich als een cotensor van rang k.

Interpretatie[bewerken]

De interpretatie als georiënteerde k-dimensionale volumemeting blijft gelden in gekromde ruimten.

Nulvormen zijn gewone reëelwaardige functies op M. Eénvormen zijn covectorvelden, ze meten de lengte van een vectorveld (eventueel negatief). Tweevormen zijn antisymmetrische bilineaire vormen op de raakruimte, ze meten de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram dat wordt opgespannen door twee raakvectoren met hetzelfde aangrijpingspunt.

Volume en oriënteerbaarheid[bewerken]

De hoogst mogelijke k waarvoor niet-triviale k-vormen bestaan, is de dimensie n van de variëteit. Als k=n blijft er nog slechts één vrijheidsgraad over (de vezels van de cotensorbundel hebben dimensie 1):

w=f_{12\ldots n}(x^1,\ldots,x^n)dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n

Niet elke variëteit heeft een globale n-vorm die in ieder punt verschilt van 0. Als een dergelijke vorm bestaat, heet hij volumevorm en de variëteit heet oriënteerbaar.

Cohomologie[bewerken]

De uitwendige afgeleide d is een lineaire transformatie van \wedge\left(T^*M\right). Steunend op de verwisselbaarheid van partiële afgeleiden kan men aantonen dat d2=0, m.a.w. de differentiaal van een differentiaal is triviaal.

Een k-vorm heet gesloten als zijn uitwendige afgeleide nul is. Een k-vorm heet exact als hij zelf de uitwendige afgeleide is van een (k-1)-vorm. Exacte differentiaalvormen zijn gesloten, maar het omgekeerde hoeft niet altijd waar te zijn. In het bijzondere geval van de Euclidische ruimte \mathbb{R}^n is elke gesloten differentiaalvorm exact.

Een voorbeeld van een gesloten vorm is de 2-vorm

w=x^1dx^1\wedge dx^2+x^1dx^1\wedge dx^3

Deze differentiaalvorm is tevens exact. Hij is de uitwendige afgeleide dq van de 1-vorm

q=-\frac12(x^1)^2dx^2-\frac12(x^1)^2dx^3

Beschouw de volgende 1-vorm op de tweedimensionale ruimte M=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}

w=\frac{-x^2}{(x^1)^2+(x^2)^2}dx^1+\frac{x^1}{(x^1)^2+(x^2)^2}dx^2

Men verifieert rechtstreeks door berekening dat dw=0. Er bestaat echter geen 0-vorm (scalaire functie) f op heel M die w als differentiaal heeft. De functie

f(x^1,x^2)=\hbox{Bgtg}\frac{x^2}{x^1}

voldoet aan df=w, maar ze kan niet globaal gedefinieerd worden zonder discontinuïteit, bijvoorbeeld met een "sprong" van +\pi naar -\pi op de negatieve helft van de X1-as.

De uitwendige afgeleide maakt van de rij bundels der homogene k-vormen (k=0,1,...,n) een coketencomplex. De bijbehorende cohomologie is de de Rham-cohomologie van de variëteit M. Het laatste voorbeeld toont aan dat de eerste cohomologie van

M=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}

niet triviaal is.