Differentiaalvorm

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een differentiaalvorm is een object uit de meetkunde. Het geeft een precieze betekenis aan begrippen als "georiënteerd volume van een deelruimte" of "georiënteerde integraal over een deelruimte". Het veralgemeent onder meer:

Differentiaalvormen leven in het algemeen op gladde variëteiten, dat zijn gekromde ruimten waarvan de punten plaatselijk kunnen beschreven worden met coördinaten. Dit artikel begint echter met de definitie van differentiaalvormen op de -dimensionale reële Euclidische ruimte

Definitie[bewerken]

Zij een natuurlijk getal. Het -voudige uitwendig product van met zichzelf is het antisymmetrisch tensorproduct, dus een quotiënt van het gewone tensorproduct waarbij sommige elementen met elkaar of met elkaars tegengestelde worden geïdentificeerd. Meer bepaald blijft het antisymmetrisch tensorproduct van vectoren ongewijzigd onder een even permutatie, en verwisselt het van teken onder een oneven permutatie.

Hier is de symmetrische groep (permutatiegroep) op elementen, en is 1 of –1 naargelang de permutatie even of oneven is.

Een homogene differentiaalvorm van rang kortweg -vorm, is een gladde functie van naar

Opmerkingen[bewerken]

Voor is Men bestudeert dus gewoonlijk slechts differentiaalvormen van orde

Voor is De 0-vormen zijn dus gewoon de gladde reële functies op in deze context ook scalairen genoemd.

De dimensie van is gelijk aan het aantal combinaties van uit

Basis[bewerken]

Noteer voor de standaardbasis van Zij Noteer

voor het beeld van

onder de canonische surjectie

De vectoren

vormen een basis voor Elke -vorm kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze vectoren met als coëfficiënten, gladde functies van naar

Interpretatie en voorbeelden[bewerken]

Intuïtief is een -vorm een georiënteerde volumemeting in dimensies. Formeel is het een som van 0 of meer objecten van de vorm

In drie dimensies definiëren we bijvoorbeeld een 2-vorm en een 1-vorm door

Uitwendige afgeleide[bewerken]

De uitwendige afgeleide of differentiaal van een -vorm is een -vorm, genoteerd als met de volgende definitie

en verder op sommen van dergelijke -vormen en op niet-homogene differentiaalvormen door lineariteit.

In de bovenstaande som zijn hoogstens van de termen verschillend van nul, want door antisymmetrie is als minstens een van de indices gelijk is aan

Voorbeelden[bewerken]

Zij de 2-vorm gegeven door

Dan is zijn uitwendige afgeleide

De volgende 2-vormen hebben telkens uitwendige afgeleide 0:

Algemene definitie in gekromde ruimten[bewerken]

Zij een -dimensionale gladde variëteit met rakende bundel De coraakruimte is de duale bundel. De uitwendige algebra over genoteerd is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van de tensoralgebra van over een (tweezijdig) ideaal zoals hierboven bij de reële Euclidische ruimte.

De antisymmetrie in de definitie impliceert dat in de oneindige directe som alleen de eerste termen () niet-triviaal zijn.

Een differentiaalvorm over is een sectie van de bundel Een -vorm of homogene differentiaalvorm van rang , over is een sectie van de deelruimte der antisymmetrische -lineaire vormen (cotensoren van rang ).

Schrijfwijze in lokale coördinaten[bewerken]

In een coördinatenstelsel is een differentiaalvorm een uitdrukking van de vorm

Een -vorm is een dergelijke uitdrukking waarbij alleen termen met uitwendige producten van precies covectoren optreden. Bij een coördinatentransformatie gedraagt elke term afzonderlijk zich als een cotensor van rang

Interpretatie[bewerken]

De interpretatie als georiënteerde -dimensionale volumemeting blijft gelden in gekromde ruimten.

Nulvormen zijn gewone reëelwaardige functies op Eenvormen zijn covectorvelden, ze meten de lengte van een vectorveld (eventueel negatief). Tweevormen zijn antisymmetrische bilineaire vormen op de raakruimte, ze meten de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram dat wordt opgespannen door twee raakvectoren met hetzelfde aangrijpingspunt.

Volume en oriënteerbaarheid[bewerken]

De hoogst mogelijke waarvoor niet-triviale -vormen bestaan, is de dimensie van de variëteit. Als blijft er nog slechts één vrijheidsgraad over (de vezels van de cotensorbundel hebben dimensie 1):

Niet elke variëteit heeft een globale -vorm die in ieder punt verschilt van 0. Als een dergelijke vorm bestaat, heet hij volumevorm en de variëteit heet oriënteerbaar.

Cohomologie[bewerken]

De uitwendige afgeleide is een lineaire transformatie van Steunend op de verwisselbaarheid van partiële afgeleiden kan men aantonen dat m.a.w. de differentiaal van een differentiaal is triviaal.

Een -vorm heet gesloten als zijn uitwendige afgeleide nul is. Een -vorm heet exact als hij zelf de uitwendige afgeleide is van een -vorm. Exacte differentiaalvormen zijn gesloten, maar het omgekeerde hoeft niet altijd waar te zijn. In het bijzondere geval van de Euclidische ruimte is elke gesloten differentiaalvorm exact.

Een voorbeeld van een gesloten vorm is de 2-vorm

Deze differentiaalvorm is tevens exact. Hij is de uitwendige afgeleide \mathrm{d}q van de 1-vorm

Beschouw de volgende 1-vorm op de tweedimensionale ruimte

Men verifieert rechtstreeks door berekening dat Er bestaat echter geen 0-vorm (scalaire functie) op heel die als differentiaal heeft. De functie

voldoet aan maar ze kan niet globaal gedefinieerd worden zonder discontinuïteit, bijvoorbeeld met een "sprong" van naar op de negatieve helft van de -as.

De uitwendige afgeleide maakt van de rij bundels der homogene -vormen () een coketencomplex. De bijbehorende cohomologie is de de Rham-cohomologie van de variëteit Het laatste voorbeeld toont aan dat de eerste cohomologie van

niet triviaal is.