Lijnintegraal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
De lijnintegraal over een scalairenveld kan men zich voorstellen als de oppervlakte onder de kromme , gelegen op een oppervlak , dat beschreven wordt door het scalairenveld.

Een lijnintegraal is een van de generalisaties van het klassieke (Riemannse) integraalbegrip voor meerdimensionale ruimten. Het domein van de gegeven functie is niet langer een reëel interval, maar een stuksgewijs differentieerbare kromme in een meerdimensionale ruimte (of algemener, een variëteit waarop een booglengte is gedefinieerd). Men onderscheidt een scalaire lijnintegraal van een vectoriële lijnintegraal naargelang het doorlopen veld scalair of vectorieel is.

Scalaire lijnintegraal[bewerken | brontekst bewerken]

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Om de lijnintegraal van de scalaire functie over de boog op de kromme te bepalen, wordt de boog opgedeeld in stukjes door de punten . Bij deze opdeling hoort een Riemannsom

,

waarin de lengte van de boog tussen de punten en is, en een punt op deze boog. Als in een bepaald limietproces bij voorgaande verfijning van de opdeling de Riemannsommen convergeren, noemt men de limiet de lijnintegraal

Kringintegraal van een scalaire lijnintegraal[bewerken | brontekst bewerken]

Als de kromme waarover geïntegreerd wordt, gesloten is, heeft het beginpunt geen invloed op de lijnintegraal. Men kan dus integreren over een vrije lus. Men spreekt dan van een kringintegraal of contourintegraal, genoteerd als:

Parametrisering[bewerken | brontekst bewerken]

Als de boog geparametriseerd is door de bijectie

,

waarin en vectoren in de ruimte zijn waarvoor en , kan de lijnintegraal geschreven worden als:

Hierin is de parameter waarmee het door gedefinieerde traject in de ruimte doorlopen wordt. De waarde van een scalaire lijnintegraal is afhankelijk van de functie en van de boog maar niet van de gebruikte paramterisatie om die boog te doorlopen, noch van de zin waarin die doorlopen wordt.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Is een rondgang van een schroeflijn langer dan een cirkel met dezelfde straal? We geven de schroeflijn voor door:

De lengte van de boog bij één rondgang (van naar ) is:

,

dus zo lang als de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden de spoed en de omtrek van een cirkel met straal . De omtrek van een cirkel is dus kleiner dan deze weglengte, indien .

Complexe lijnintegraal[bewerken | brontekst bewerken]

In de complexe analyse kan het product geïnterpreteerd worden als een vermenigvuldiging van complexe getallen. Het eerste belangrijke resultaat van de complexe analyse luidt als volgt

Integraaltheorema van Cauchy[bewerken | brontekst bewerken]

Als het domein van een complex differentieerbare, holomorfe functie enkelvoudig samenhangend is (dat wil zeggen “geen gaten heeft”), dan is de lijnintegraal van die functie tussen twee gegeven punten in het domein, onafhankelijk van de gekozen weg. Een voorbeeld is het gravitatieveld. Dit theorema kan als volgt worden geformuleerd:

Elke kringintegraal van zo'n functie is dus gelijk aan nul.

Vectoriële lijnintegraal[bewerken | brontekst bewerken]

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een vectoriële lijnintegraal in dimensies wordt berekend aan de hand van een -dimensionaal vectorveld waarbij een kromme in een -dimensionale ruimte doorloopt. De lijnintegraal is dan

Het resultaat is een scalaire grootheid want het product in de integraal is een scalair product van twee vectoren. De lijnintegraal integreert dus de lokale waarde van het vectorveld vermenigvuldigd met een infinitesimale verplaatsing . Als de hoek tussen deze twee vectoren kleiner is dan 90° levert dat een positieve bijdrage tot de integraal want dan is het scalair product positief. In punten waar ze loodrecht op elkaar staan is de bijdrage nul, en in punten waar de hoek groter is dan 90° is de bijdrage negatief.

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

  • Een vectoriële lijnintegraal is afhankelijk van het vectorveld en de doorlopen kromme maar niet van de concrete parameterisatie van die kromme, i.e. de concrete parametervergelijkingen die gebruikt worden om de kromme te beschrijven.
  • Een vectoriële lijnintegraal verandert, in tegenstelling tot een scalaire lijnintegraal, van teken wanneer de kromme in de andere zin doorlopen wordt
  • Indien , en punten zijn op de kromme geldt, ongeacht de onderlinge volgorde van de drie punten langsheen de kromme:
  • Een lijnintegraal waarvan begin- en eindpunt gelijk zijn, een zogenaamde kringintegraal, is niet noodzakelijk nul. Stel bijvoorbeeld dat een volledige cirkel wordt doorlopen. Dan zijn begin- en eindpunt gelijk maar hun respectievelijke parameterwaarden zullen verschillen, bijvoorbeeld door een verschil . Echter, een kringintegraal in een conservatief vectorveld is wel nul.

Rekenvoorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Gegeven het vectorveld , de vlakke kromme en de punten en op die kromme. Om de lijnintegraal van langs van naar te berekenen moet eerst een parametervergelijking van het traject langs tussen die twee punten gekozen worden. Dit kan bijvoorbeeld zijn:

waarbij ons van naar brengt. De lijnintegraal wordt dan:

Vectoriële lijnintegraal in een conservatief vectorveld[bewerken | brontekst bewerken]

In een conservatief vectorveld is de lijnintegraal onafhankelijk van de gevolgde kromme die het beginpunt en het eindpunt van de lijnintegraal verbindt. Dan kan de lijnintegraal gevonden worden door zelf een eenvoudige kromme te kiezen zoals bijvoorbeeld een lijnstuk, of door eerst de potentiaalfunctie van het conservatief veld te zoeken. Dan kan men verder gaan met:

Hieruit volgt ook dat een kringintegraal in een conservatief veld nul is want dan zijn de punten en gelijk en is dus gelijk aan nul.

Toepassing: arbeid in het gravitatieveld[bewerken | brontekst bewerken]

In de buurt van het aardoppervlak is de zwaartekracht uitgeoefend op een massa , en indien de positieve zin van de vertikale coördinaatas naar boven gekozen wordt gelijk aan:

met de lokale gravitatieversnelling vlak bij het aardoppervlak. Stel dat een massa vanop een hoogte in horizontale richting met beginsnelheid wordt gelanceerd, dan zijn de bewegingsvergelijkingen:

De afgeleide (naar de tijd) van deze vector is dan:

De tijd die de massa nodig heeft om de grond te bereiken kan gevonden worden door de tweede component van gelijk aan nul te stellen zodat:

De arbeid die nodig is om de massa op de grond te brengen, is dan de lijnintegraal:

en dit is precies het verschil in potentiële energie van de massa tussen haar begin- en eindpositie.

Dit voorbeeld kan ook anders opgelost worden, want het veld is conservatief, met als potentiaalfunctie

De waarde van de lijnintegraal kan dan ook gevonden worden als

In dit geval is de potentiaalfunctie inderdaad de fysische potentiële energie waarbij diens nulpunt op het aardoppervlak gekozen wordt.